回归分析的初步应用

编辑: 逍遥路 关键词: 高中数学 来源: 高中学习网


 

 

  一、教学目标

  a) 知识与技能

*能根据散点分布特点,建立不同的回归模型。

*知道有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型。

*通过散点图及相关指数比较体验不同模型的拟合效果。

  b) 过程与方法

*通过将非线性模型转化为线性回归模型,使学生体会“转化”的思想。

*让学生经历数据处理的过程,培养他们对数据的直观感觉,体会统计方法的特点,认识统计方法的应用。

*通过使用转化后的数据,利用计算器求相关指数,使学生体会使用计算器处理数据的方法。

  c) 情感、态度与价值观

*从实际问题中发现已有知识不足,激发好奇心、求知欲。

*通过寻求有效的数据处理方法,开阔学生的思路,培养学生的探索精神和转化能力。

*通过案例的分析,使学生了解回归分析在生活实际中的应用,增强数学“取之生活,用于生活”的意识,提高学习兴趣。

  二.教学重点、难点

*重点:通过探究使学生体会有些非线性模型运用等量变换、对数变换可以转化为线性回归模型。

*难点:如何启发学生“对变量作适当的变换(等量变换、对数变换)”,变非线性为线性,建立线性回归模型。

  三、教学过程设计

项  目

内    容

师生活动

设计意图

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

一、

 

 

 

 

1、你能回忆一下建立回归模型的基本步骤吗?

师:提出问题,引导学生回忆建立回归模型的基本步骤(选变量、画散点图、选模型、估计参数、分析和预测)。

生:回忆、叙述建立回归模型的基本步骤。

复习建立线性回归模型的基本步骤,为建议非线性模型做准备。

2、背景介绍:

红铃虫喜高温高湿,适宜各虫态发育的温度为 25一32C,相对湿度为80%一100%,低于 20C和高于35C卵不能孵化,相对湿度60% 以下成虫不产卵。冬季月平均气温低于一4.8 ℃时,红铃虫就不能越冬而被冻死。

师:通过“红铃虫”的背景介绍,指出其发生受温度的影响,为采取有效防治方法,有必要研究红铃虫的产卵数和温度之间的关系,揭示课题。

生:阅读材料,了解红铃虫,以及其产卵数和温度有关系。

通过背景材料,加深学生对问题的理解,并明白“为什么要学”。体会问题产生于生活。同时激发学习兴趣,提高学习的积极性。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

二、

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

二、

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1、例2.现收集了一只红铃虫的产卵数y和温度x之间的7组观测数据列于下表:

温度xoC

21

23

25

27

29

32

35

产卵数y/个

7

11

21

24

66

115

325

(1)试建立y与x之间的回归方程;并预测温度为28oC时产卵数目。

(2)你所建立的模型中温度在多大程度上解释了产卵数的变化?

探究:

方案1(学生实施):

(1)选择变量,画散点图。

(2)通过计算器求得线性回归方程:=19.87x-463.73

(3)进行回归分析和预测:

R2=r2≈0.8642=0.7464

预测当气温为28 时,产卵数为92个。这个线性回归模型中温度解释了74.64%产卵数的变化。

困惑:随着自变量的增加,因变量也随之增加,气温为28 时,估计产卵数应该低于66个,但是从推算的结果来看92个比66个却多了26个,是什么原因造成的呢?

方案2:

(1)找到变量t=x 2,将y=bx2+a转化成y=bt+a;

(2)利用计算器计算出y和t的线性回归方程:y=0.367t-202.54

(3)转换回y和x的模型:

     y=0.367x2 -202.54

(4)计算相关指数R2≈0.802这个回归模型中温度解释了80.2%产卵数的变化。

预测:当气温为28 时,产卵数为85个。

困惑:比66还多19个,是否还有更适合的模型呢?

方案3:

(1)作变换z=lgy,将转化成z=c2x+lgc1(线性模型)。

(2)利用计算器计算出z和x的线性回归方程:     z=0.118x-1.672

(3)转换回y和x的模型:

(4)计算相关指数R2≈0.985这个回归模型中温度解释了98.5%产卵数的变化。

预测:当气温为28 时,产卵数为4 2个。

师:给出数据,让学生分析两个变量的关系。

生:类比前面所学过的建立线性回归模型的步骤,动手实施方案1。

 

师:引导学生分析结果,发现问题。

生:检查结果,联系实际发现问题。

探究一:

师:引导学生将所得散点图和学过的函数图像比较,猜想产卵数y和温度x的可以用什么函数拟合?

生:通过比较,发现接近于指数关系,也像二次函数关系。

师:通过计算机拟合,直观判断所选模型。鼓励学生继续探索。

生:经过讨论建立模型:

y=bx2+a,

探究二(方案2):

师:提出问题“如何求参数a、b?”可引导学生观察、比较表达式y=bx2+a和y=bx+a。

生:通过比较,发现可利用

t=x2,将y=bx2+a(二次函数)转化成y=bt+a(一次函数)。

师:提醒学生再检查结果。

生:产生新的问题。

探究三(方案3):

师:提出问题“如果选用指数模型,是否也能转换成线性模型,如何转化?”(1)利用对数降幂法(教师可启发学生思考“幂指数中的自变量如何转化为自变量的一次幂?”可引导学生回忆对数的运算性质以及指对数关系。)。

(2)在计算中发现只有以10或e为底,才能直接运用计算器。

引导学生对结果进行分析,从而发现已有知识不足,激发好奇心、求知欲。同时培养学生对问题的洞悉能力,增强对结果的敏感自检能力。

 

通过联想、比较,运用已有知识寻找解决问题的方法。

 

二次函数和一次函数比较接近,所以先建立二次函数模型。

 

 

通过比较,寻找转化的途径,突破难点。

 

步步推进,引发另一高潮。

 

 

再次体会“转化”

 

课堂上选用以10为底,让学生亲自体会可以选用不同的底。

 

经历动手体验,感受“转化”以及使用统计方法处理数据的过程。能利用计算器熟练进行相关计算。

2、比较例2的三个模型。

师:以上三个模型,哪个能更好的刻画红铃虫的产卵数y 和温度x的关系?(可引导学生从散点图、相关指数两种方法进行比较。)

生:进行比较后获得指数模型更好。

引导学生进行不同模型的比较。体会“虽然任意两个变量的观测数据都可以用线性回归模型来拟合,但不能保证这种模型对数据的拟合效果最好,为更好的刻画两个变量之间的关系,要根据观测数据的特点来选择回归模型”

 

 

三、练

 

选修1-2:P13 3

或选修2-3: P104 3

 

生:自主思考,探究解题思路。

师:针对学生的解答强化或给予肯定。

使学生掌握解决这类问题的方法。

 

 

四、

 

 

      

(1)如何发现两个变量的关系?

(2)当选用非线性回归模型时,如何建立模型?

 

(3)如何比较不同模型的拟合效果?

师:提出问题,引导学生回顾例2的思路。

生:独立思考,总结从例2中获得的启发:可以从散点图直观发现关系;选用非线性回归模型时,往往要用“等量变换、对数变换”等方法,转化成线性回归模型;可以利用相关指数比较模型。

让学生整理建立非线性回归模型的思路。

 

五、作业

1、某种书每册的成本费y(元)与印刷册数x(千册)有关,经统计得到数据如下:

x

1

2

3

4

5

y

10.15

5.52

4.08

2.85

2.11

x

6

7

8

9

10

y

1.62

1.41

1.30

1.21

1.15

 

(1)画出散点图;

(2)求成本费y(元)与印刷册数x(千册)的回归方程。

 

2、通过互联网收集1993年至2003年每年中国人口总数的数据,建立人口与年份的关系,预测2004和2005年的人口总数,并计算与实际数据的误差。

生:自己收集资料,自主完成作业。

使学生“学以致用”利用已有知识解决实际问题,增强学习数学的兴趣

 

  四、教学设计说明:

高中新课程中增加了有关统计学初步的内容,先后出现在必修3和选修1-2(文科)、选修2-3(理科)。《数学3》中的“统计”一章,给出了运用统计的方法解决问题的思路。“线性回归分析”是其介绍的一种分析整理数据的方法。在这一章中,学习了如何画散点图、利用最小二乘法的思想利用计算器求回归直线方程、利用回归直线方程进行预报等内容。然而在大量的实际问题中,两个变量不一定都呈线性相关关系,他们可能呈指数关系或对数关系等非线性关系,本课时就是在学习了如何建立线性回归模型的基础上,探索如何建立非线性关系的回归模型。

这个内容在人教A版教材中只安排了一道关于“红铃虫”的例题,但是它却代表了一种“回归分析”的类型。如何利用这道例题使学生掌握这类问题的解决方法呢?为此,我设计了“引导发现、合作探究”的教学方法。首先展示“红铃虫”的背景资料来激发学生的学习兴趣;鼓励学生用已有知识解决问题,引导学生检查结果从而发现新问题;通过分组合作来对不同方案进行探索;使学生在合作探索的过程中体会“选择模型——将非线性转化成线性……”方法,体会“化未知为已知、用已知探索未知”思想,同时认识不同模型的效果。培养学生观察、类比联想,以及分析问题的能力。在教学过程中让学生自主探索、动手实践,养成独立思考、积极探索的习惯。

在“选模型”这个环节中,我引导将散点分布和已学函数图像进行比较,从而发现二次函数和指数函数模型。在“转化”这个环节中,通过引导学生观察所选模型,联系已学知识选择“等量变换和对数变换”,从而找到转化的途径。在运算过程中,如求“相关指数”我引导学生使用转化后的数据,利用计算器求其相关系数即为相关指数,使学生体会使用计算器处理数据的方法和技能。


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