一、选择题
1.一束光线与玻璃成角,穿过折射率为1.5(折射率=,其中为入射角,为折射角)厚度为的一块玻璃,则光线在玻璃内的行程是( ).
A. B. C. D.
考查目的:考查三角函数模型的物理应用及计算.
答案:B.
解析:∵,∴在玻璃中行程为.
2.2002年在北京召开的国际数学家大会,会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图).如果小正方形的面积为1,大正方形的面积为25,直角三角形中较小的锐角为,那么( ).
A.1 B. C. D.
考查目的:考查勾股定理、三角函数的定义,以及把实际问题转化为三角函数求值问题的能力.
答案:C.
解析:依题意得,大、小正方形的边长分别为5,1,设直角三角形中较长的直角边为,由解得,,∴,∴.
3.已知函数,其中.若的最小正周期为,且当时,取得最大值,则( ).
A.在区间上是增函数 B.在区间上是增函数
C.在区间上是减函数 D.在区间上是减函数
考查目的:考查三角函数的周期性和单调性.
答案:A.
解析:∵,,∴的递增区间为.
二、填空题
4.现在是北京时间10点整,设时针与分针夹角为,则 .
考查目的:考查三角函数的求值,以及将实际问题转化为数学问题的能力.
答案:.
解析:∵,∴.
5.若函数的图象与直线有且只有两个不同的交点,则的取值范围是 .
考查目的:考查正弦函数的图象和数形结合思想.
答案:.
解析:,画图,由数形结合思想可知,.
6.设,其中为非零常数.若,则 .
考查目的:考查三角函数的诱导公式、正弦函数的周期性和函数性质的综合应用能力.
答案:1.
解析:.
三、解答题
7.如图某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似地满足函数.
⑴求这段时间的最大温差
⑵写出这段曲线的函数解析式.
考查目的:考查函数的图象与性质,以及实际问题转化为数学问题的能力.
答案:⑴20(℃);⑵
解析:⑴由图知这段时间的最大温差是30-10=20(℃);
⑵在图中,从6时到14时的图象是函数的半个周期的图象,∴,解得.由图知,,这时.
将代入上式,可取.
综上所述,所求解析式为.
8.已知函数()的图象的一部分如下图所示.
⑴求函数的解析式;
⑵当时,求函数的最大值与最小值及相应的的值.
考查目的:考查函数的图象和性质,以及分析推理能力.
答案:⑴;⑵当时,最大值;当时,最小值为.
解析:⑴由图像知,.∵,∴.又∵图象经过点,∴,且,∴,∴.
⑵∵,∴当,即当时,的最大值为;当, 即当时,最小值为.
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