1.设全集U=R,集合,,则为( )
A. B. C. D.
2.方程5=5的解集是( )
A.3 B.-1 C.-1,3 D.1,3
3.函数的定义域是( )
A. B. C. D.
4.下表表示y是x的函数,则函数的值域是( )
2
3
4
5
A. B. C. D.N
5.已知,,,则之间的大小关系为( )
A. B. C. D.
6.已知函数 若,则x的值为( )
A.2 B.3 C.2或3 D.-2或3
7.函数的图像( )
A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 C.关于原点对称 D.关于直线对称
8.根据表格中的数据,可以判定方程ex-x-2=0的一个根所在的区间为( )
x
-1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.72
7.39
20.09
x+2
1
2
3
4
5
A.(-1,0) B.(0,1) C. (1,2) D. (2,3)
9若,则f(5)的值等于( )
A.10 B.11 C.12 D.13
10.已知函数f(x)满足,则f(x)的解析式是( )
A.log2x B.-log2x C.2-x D.x-2
11.已知A=x+y-2=0,B=x-2y+4=0,C=y=3x+b,若(A∩B)?C,则b= .
12.已知函数是偶函数,且在(0,+∞)是减函数,则整数的值是 .
13.已知函数的图象如图所示,则a、b的值分别为 、 .
14.已知定义在实数集R上的偶函数在区间上是单调增函数
,若f(1)<f(2x-1),则x的取值范围是 .
15.已知函数,令
(即f(x)和g(x)中的较大者),则的最小值是___________.
16.设,求函数的最大值和最小值.
17.已知关于x的二次函数.
(1)求证:对于任意,方程必有实数根;
(2)若,求证:方程在区间上各有一个实数根.
18.对于函数,
(1)判断并证明函数的单调性; (2)是否存在实数a,使函数为奇函数.证明你的结论.
19. 在距A城50km的B地发现稀有金属矿藏,现知由A至某方向有一条直铁路AX,B到该铁路的距离为30km,为在AB之间运送物资,拟在铁路AX上的某点C处筑一直公路通到B地.已知单位重量货物的铁路运费与运输距离成正比,比例系数为(>0); 单位重量货物的公路运费与运输距离的平方成正比,比例系数为(>0).设单位重量货物的总运费为y元,AC之间的距离为xkm.
将y表示成x的函数;(2)若,则当x为何值时,单位重量货物的总运费最少.并求出最少运费.
20.已知定理:“若为常数,满足,则函数的图象关于点中心对称”.设函数,定义域为A.
⑴试证明的图象关于点成中心对称;
⑵当时,求证:;(3)对于给定的,设计构造过程:,…,.如果,构造过程将继续下去;如果,构造过程将停止.若对任意,构造过程可以无限进行下去,求a的值.
参考答案:
1.D; 2.A; 3.D; 4.C; 5.C; 6.B; 7.C; 8.C; 9.B; 10.B; 11.2; 12. 1或3; 13. 3,3; 14. ; 15. ;
16.
又 当,即时,取最大值,.
当,即时,取最小值,.
17. (1)由知必有实数根.
或由得必有实数根.
(2)当时,因为,,
,
所以方程在区间上各有一个实数根.
18. (1)函数为R上的增函数.证明如下:
函数的定义域为R,对任意
,.
因为是R上的增函数,,所以<0,
所以<0即,函数为R上的增函数.
(2)存在实数a=1,使函数为奇函数.
证明如下:当a=1时,=.
对任意, ==-=-,即为奇函数.
19. (1)过点B作BDAX,D为垂足,由于AC=x,AB=50,BD=30所以AD=40,CD=40-x,
由勾股定理得.根据题意得:,
即().
(2)因为,所以y,当时,.
答:当=30km时,单位重量货物的总运费最小,最小值为1600元.
20. (1)∵,∴,由已知定理得,的图象关于点成中心对称;
(2)首先证明在上是增函数,为此只要证明在上是增函数.
设,则,
∴在上是增函数.
再由在上是增函数得,
当时,,即;
(3)∵构造过程可以无限进行下去,∴对任意恒成立,
∴方程无解,即方程无解或有唯一解,
∴或,由此得到.
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