3.1导数概念及其几何意义

编辑: 逍遥路 关键词: 高中数学 来源: 高中学习网


重难点:了解导数概念的实际背景,理解导数的几何意义.

考纲要求:①了解导数概念的实际背景.

②理解导数的几何意义.

经典例题:利用导数的定义求函数y=|x|(x≠0)的导数.

 

 

 

当堂练习:

1、在函数的平均变化率的定义中,自变量的的增量满足(    )

     A   >0      B  <0     C        D  =0

2、设函数,当自变量由改变到时,函数值的改变量是(     )

     A     B    C    D  

3、已知函数的图像上一点(1,2)及邻近一点,则等于(    )

     A   2      B   2     C         D    2+

4、质点运动规律,则在时间中,相应的平均速度是(     )

    A     B     C        D  

5.函数y=f(x)在x=x0处可导是它在x=x0处连续的

A.充分不必要条件    B.必要不充分条件

C.充要条件               D.既不充分也不必要条件

6.在曲线y=2x2-1的图象上取一点(1,1)及邻近一点(1+Δx,1+Δy),则等于

A.4Δx+2Δx2  B.4+2Δx        C.4Δx+Δx2     D.4+Δx

7.若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为2x+y-1=0,则

A.f′(x0)>0        B.f′(x0)<0    C.f′(x0)=0         D.f′(x0)不存在

8.已知命题p:函数y=f(x)的导函数是常数函数;命题q:函数y=f(x)是一次函数,则命题p是命题q的 

A.充分不必要条件                   B.必要不充分条件

C.充要条件                      D.既不充分也不必要条件

9.设函数f(x)在x0处可导,则等于

A.f′(x0)                   B.0         C.2f′(x0)     D.-2f′(x0)

10.设f(x)=x(1+|x|),则f′(0)等于

A.0                         B.1          C.-1                 D.不存在

11.若曲线上每一点处的切线都平行于x轴,则此曲线的函数必是___.

12.两曲线y=x2+1与y=3-x2在交点处的两切线的夹角为___________.

13.设f(x)在点x处可导,a、b为常数,则=_____.

14.一球沿一斜面自由滚下,其运动方程是s=s(t)=t2(位移单位:m,时间单位:s),求小球在t=5时的瞬时速度________.

15.已知质点M按规律s=2t2+3做直线运动(位移单位:cm,时间单位:s),

(1)当t=2,Δt=0.01时,求.

(2)当t=2,Δt=0.001时,求.

(3)求质点M在t=2时的瞬时速度.

 

 

 

 

 

16.已知曲线y=2x2上一点A(1,2),求(1)点A处的切线的斜率.(2)点A处的切线方程.

 

 

 

 

17.已知函数f(x)=,试确定a、b的值,使f(x)在x=0处可导.

 

 

 

 

18.设f(x)=,求f′(1).

 

 

参考答案:

 

经典例题:解:∵y=|x|,∴x>0时,y=x,则∴=1.

当x<0时,y=-x,,∴.

∴y′=  .

 

当堂练习:

1.C; 2.D; 3.C; 4.A; 5.A; 6.B; 7.B; 8.B; 9.C; 10.B; 11.常数函数; 12.arctan; 13.(a+b)f′(x);

14. 10 m/s;

15. 分析:Δs即位移的改变量,Δt即时间的改变量,即平均速度,当Δt越小,求出的越接近某时刻的速度.

解:∵=4t+2Δt

∴(1)当t=2,Δt=0.01时,=4×2+2×0.01=8.02 cm/s

(2)当t=2,Δt=0.001时,=4×2+2×0.001=8.002 cm/s

(3)v=(4t+2Δt)=4t=4×2=8 cm/s.

16. 解:(1)k=

.∴点A处的切线的斜率为4.

(2)点A处的切线方程是y-2=4(x-1)即y=4x-2

17. 解:== (Δx+1)=1

=

若b≠1,则不存在

∴b=1且a=1时,才有f(x)在x=0处可导

∴a=1,b=1.

18.解:f′(1)= =

==.

 

 


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