高中函数值域的12种求法

编辑: 逍遥路 关键词: 高中数学 来源: 高中学习网


  一.观察法

  通过对函数定义域、性质的观察,结合函数的解析式,求得函数的值域。

  例1求函数y=3+√(2-3x)的值域。

  点拨:根据算术平方根的性质,先求出√(2-3x)的值域。

  解:由算术平方根的性质,知√(2-3x)≥0,

  故3+√(2-3x)≥3。

  ∴函数的知域为.

  点评:算术平方根具有双重非负性,即:(1)被开方数的非负性,(2)值的非负性。

  本题通过直接观察算术平方根的性质而获解,这种方法对于一类函数的值域的求法,简捷明了,不失为一种巧法。

  练习:求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。(答案:值域为:{0,1,2,3,4,5})

  二.反函数法

  当函数的反函数存在时,则其反函数的定义域就是原函数的值域。

  例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。

  点拨:先求出原函数的反函数,再求出其定义域。

  解:显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1-2y)/(y-1),其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为{y?y≠1,y∈R}。

  点评:利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想,是数学解题的重要方法之一。

  练习:求函数y=(10x+10-x)/(10x-10-x)的值域。(答案:函数的值域为{y?y<-1或y>1})

  三.配方法

  当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域

  例3:求函数y=√(-x2+x+2)的值域。

  点拨:将被开方数配方成完全平方数,利用二次函数的最值求。

  解:由-x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[-1,2]。此时-x2+x+2=-(x-1/2)2+9/4∈[0,9/4]

  ∴0≤√-x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]

  点评:求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。

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