聚焦课本中的数学思想方法

编辑: 逍遥路 关键词: 高中数学 来源: 高中学习网


  江苏陈德前


  数学思想方法是数学基础知识的重要组成部分,教材中没有专门的章节介绍它,而是伴随着基础知识的学习而展开的.在学习中一定要重视对常用数学思想方法的总结与提炼,它们是数学的精髓,是解题的指导思想,更能使人受益终身.《整式的加减》中常用的数学思想方法有:
  
  一、用字母表示数的思想
  
  用字母表示数的思想,也就是代数思想.用字母表示数,用含有字母的式子表示现实生活中的数量关系,使我们从算术跨进了代数的大门,在本章的开头我们又再次感受了这一思想方法.在具体问题中,用字母表示数往往具有以简驭繁、捷足先登之功效.
  
  例1计算2006×20082008-2008×20062006=.
  
  解:设a=2006,b=2008,
  
  则原式=a(10000b+b)-b(10000a+a)=10001ab-10001ab=0.
  
  二、分类讨论思想
  
  课本在进行整式的分类和研究同类项时,多次向我们渗透了分类讨论思想。某些数学问题,涉及到的概念、法则、性质、公式是分类给出的,或在解答过程中,条件或结论不惟一时,会产生几种可能性,就需要分类讨论,从而得出各种情况下的结论.这种处理问题的思维方法就是分类讨论思想,其作用是考察学生思维的周密性,使其克服思维的片面性,防止漏解.分类必须遵循下列两条原则:(1)每一次分类要按照同一标准进行;(2)分类要做到不重复、不遗漏.例如,把有理数分为正数和负数两类就错了,错误原因是漏掉了零.
  
  例2比较3a和-3a的大小.
  
  分析:由于题中没有给出a的取值范围,故需分三种情况来进行讨论.
  
  解:(1)当a>0时,3a>0,-3a0,∴3a>-3a;
  
  (2)当a=0时,3a=0,-3a=0,∴3a=-3a;
  
  (3)当a<0时,3a<0,-3a>0,∴3a<-3a.
  
  三、整体思想
  
  合并同类项的本质就是化分为整,课本在处理许多问题时也都采用了整体思想。整体思想,就是在解决某些数学问题时,不能“一叶障目”,而是有意识地放大问题的“视角”,从大处着眼,由整体入手,通过细心的观察和深入的分析,找出整体与局部的有机联系,从整体上把握问题,从而在宏观上寻求解决问题途径的一种思维方法.
  
  例3当a=2,b=3时,求代数式2(2a-b)3-(2a-b)2+8(2a-b)的值.
  
  分析:解答时先求出2a-b的值,然后整体代入解起来比较简捷,这里便渗透了整体思想.
  
  解:因为a=2,b=3,所以2a-b=1,原式=2×13-12+8×1=9.
  
  四、逆向思维的思想
  
  去括号与添括号、合并同类项与拆项等,都在向我们渗透一种重要的数学思想方法——逆向思维,它有利于创新能力的培养。
  
  例4.已知x2+x-1=0,求代数式2x3+4x2+3的值。
  
  解:(逆向应用合并同类项的法则——拆项)
  
  因为x2+x-1=0,所以2x3+4x2+3=(2x3+2x2-2x)+(2x2+2x-2)+5=2x(x2+x-1)+2(x2+x-1)+5=0+0+5=5.
  
  点评:若由条件求出x的值,再代入2x3+4x2+3中计算,是不明智的选择.且七年级学
  
  生由x2+x-1=0求不出x的值.这里将求值式通过拆项转化为含有代数式x2+x-1的形式,再将x2+x-1=0代入变形后的求值式计算,十分简捷.
  
  五、特殊与一般的辨证思想
  
  “从特殊到一般”就是从特殊、个别的事例推出一般规律的过程,是一个归纳、创新
  
  的过程.从“一般到特殊”是解决数学问题的一种思想方法,特殊情形有时掩盖了问题的实质,从一般情形入手,容易发现解题思路.用字母表示数,归纳猜想规律等都是运用了从特殊到一般的思想,而求代数式的值则是典型的从一般到特殊思想的运用.前面的例1是从特殊到一般的例子,下面举一个从一般到特殊的例子.
  
  例5.(2005年山东日照市中考题)已知?1<b<0,0<a<1,那么在代数式a?b、a+b、a+b2、a2+b中,对任意的a、b对应的代数式的值最大的是()
  
  (A)a+b(B)a?b(C)a+b2(D)a2+b
  
  解析:由?1<b<0,0<a<1可取特殊值a=,b=?,则a?b=1,a+b=0,a+b2=,a2+b=?,显然a?b最大,选A。
  
  六.实验、观察、猜想、论证的思想
  
  实验、观察、猜想、论证是解?数学问题的重要思想方法。实验是基础,在实验中要注意分析和观察规律;观察是关键,在观察中要透过现象看本质,从特殊中找出一般;猜想是核心,会推理判断,能归纳猜想,就能有所发现;论证是结果,是对实验、观察、猜想的科学总结.应用这一思想方法可以解?本章的许多规律探索题。
  
  例6.(2006年云南省中考题)观察图中的(l)至(4)中小圆圈的摆放规律,并按这样的规律继续摆放,记第n个图中小圆圈的个数为m,则m=(用含n的代数式表示).


  解析:本例的解题关键是求出第n个图形中有多少个小圆圈,为此我们在给出的4个图形中探究规律,看看哪些是不变量,哪些是变量,变量的变化规律是什么?在已知的4个图形中,前面的5个圆圈是不变量,变化的是后面的圆圈.它们的数量分别是:第1个图形多出0×3个圆圈,第2个图形多出1×3个圆圈,第3个图形多出2×3个圆圈,第4个图形多出3×3个圆圈,…依此类推,第n个图形多出(n-1)×3个圆圈,故第n个图形中共有5+(n-1)×3(即3n+2)个圆圈,因此应填3n+2.
  
  


本文来自:逍遥右脑记忆 http://www.jiyifa.net/gaozhong/282827.html

相关阅读:高中数学呈现新特点 学习方法需调整