轮扁之祸?数学的“意”

编辑: 逍遥路 关键词: 高中数学 来源: 高中学习网


  作者:南京师范大学附属中学江宁分校刘茂全
  
  天气预报与代数式
  
  用语言表述代数式a-(-b+c)的意义:a与b的相反数与c的和的差.这种代数式意义的表述,不禁让笔者想起了中央电视台的天气预报中的一段专业术语:“西北地区东南部中部偏北地区”,其实指的就是宁夏地区.
  
  中国现代哲学家冯友兰在他的著作《中国哲学简史》中有这样一段论述:语言的作用不在于它的固定含义,而在于它的暗示,引发人去领悟道.一旦语言已经完成它的暗示作用,就应把它忘掉,为什么还要让自己被并非必要的语言所拖累呢?诗的文字和音韵是如此,绘画的线条和颜色也是如此[1].
  
  数学有其自成系统的语言,精炼、简洁而明确,不必都把它用文字语言去表述,正如不必把一段优美的旋律用生硬的文字语言表述出来,我们可以慢慢地去听,去品,去感受.个中体味,自己最清楚,说出来,便显得苍白无力,词不达意.
  
  子曰得更直接:辞达而已矣.
  
  轮扁之祸
  
  《庄子?外篇》(天道第十三)记录了这样一段对话:
  
  桓公读书于堂上.轮扁斫轮于堂下,释椎凿而上,问桓公曰:“敢问,公之所读者何言邪?”
  
  公曰:“圣人之言也.”
  
  曰:“圣人在乎?”
  
  公曰:“已死矣.”
  
  曰:“然则君之所读者,古人之糟魄已夫!”
  
  桓公曰:“寡人读书,轮人安得议乎!有说则可,无说则死.”
  
  轮扁曰:“臣也以臣之事观之.斫轮,徐则甘而不固,疾则苦而不入.不徐不疾,得之于手而应于心,口不能言,有数存焉于其间.臣不能以喻臣之子,臣之子亦不能受之于臣,是以行年七十而老斫轮.古之人与其不可传也死矣,然则君之所读者,古人之糟魄已夫!”[2]
  
  大意是:
  
  齐桓公在堂上读书.轮扁在堂下砍造车轮,他放下工具走到堂上,问齐桓公说:“请问君王读的是什么书呢?”
  
  齐桓公说:“圣人的言论.”
  
  轮扁问:“那圣人还活着吗?”
  
  齐桓公说:“已经死去了.”
  
  轮扁说:“那么,君王所读的书,乃是古人的糟粕了!”
  
  齐桓公说:“寡人在这里读书,你一个车轮工人怎么能够议论这个呢?说得对了,那还可以;说得不对,就治你死罪.”
  
  轮扁说:“奴才就拿奴才的工作来看:在砍造车轮的时候,榫子做得松了,就会滑利地打进去,但不牢固;榫子做得紧了,就会感到滞涩,而打不进去;既不松,又不紧,把技巧得在手里,应在嘴里说不出来,其中却有一定的分寸.我不能够把它明明白白地告诉给我的儿子,我的儿子也不能够明明白白地接受到我的教法.因此,奴才年纪已经七十岁了,只好老死在砍造车轮的手艺上,古人和他们不可传授的东西,都死去了.那么,君王所读的书,乃是古人的糟粕了!”
  
  数学教学中哪些是“不可传”的数学之“意”呢?我们又该如何处理?
  
  概念教学
  
  什么是代数式?教材一般使用列举法.列出几个代数式,然后,“像这样的式子都是代数式”.对于初一的学生,显然不适合作形式化的定义,这样的处理是合理的.但是,列举法又给学生一些困惑:已经列举出来的代数式代表哪些类型?还有哪些没列举出来的代数式?能否罗列出所有代数式的类型?要回答初一学生提出的这些问题,不是很容易.笔者在教学时加了一句话:代数式就是代表数的式子.也就是说,一个式子是用来表示数的,那么,它就是代数式.否则,就不是.如,“on”,如果表示英文单词,它就不是代数式;如果是两个数o和n的乘积,它就是代数式.这样说,也很容易理解单独一个数也是代数式.
  
  什么是同类项?“所有字母相同,并且相同字母的指数也相同的项”.那么,3x与3y是同类项吗?这是学生课堂上提出的一个问题.学生认为,3x+3y=(x+y)3.似乎也有道理.无奈之下,我脱口而出:可以合并的项就是同类项!说完了又后悔了,这算什么定义?犯了循环定义之大忌,如同说“长了猪毛的动物是猪”一样.但是,这样的说法,是不是更能让学生去体会同类项的“意”呢?
  
  由此可见,有些概念,我们不能过于纠缠于其定义表述是否“严谨”,而应把着力点放在学生对概念内涵的理解上,也就是数学的“意”的体味.
  
  定理法则
  
  定理的证明其作用有时往往不亚于定理内容本身,而法则也有其合理性.但如何证明和理解定理和法则,有不同的方法.帮助学生理解其“意”,是关键所在.
  
  全等判定,为什么没有“SSA”?
  
  对于这个问题,教者往往通过举一个反例说明,简捷而符合逻辑.其实,如果构造出图1,线段AB和∠B大小不变,线段AD绕着点A旋转,通过动画演示可以看到,当AD>AE(AE为点A到直线BC的垂线段)时,与直线BC交于两点M、N,△ABM和△ABN满足条件“SSA”,但不全等.其本质原因就在于边AD可以绕着点A“旋转”.随着线段AD的大小变化,可以看到,其“旋转”产生了不同的结果.如,当AD=AE时,AD无法“旋转”,与BC只有一个交点,于是“HL”可以作为全等的判定.而当AD≥AE时,线段AD“旋转”与射线BC(不包括点B)只有一个交点,此时“SSA”可以作为全等的判定.而当AD<AE时,由于线段AD与直线BC没有交点,不能构成三角形,因此,不能形成全等的判定.
  
  通过这个过程,学生不但理解了为什么没有“SSA”的全等判定,而且知道了全等判定“HL”和“SSA”的内在联系,以及“SSA”可以作为全等判定的条件.这一过程,学生不必用文字去表述,达“意”即可.

  

图1


  
  多边形外角和定理:多边形的外角和为360?
  
  其证明方法有多种,怎样才能理解其本质?不妨把多边形浓缩成一个点,让我们绕着这个点旋转一周,便回到原来的状态,而“旋转一周”之“意”,学生便理解了多边形的外角和为360埃?比唬?獠荒芴娲??淼闹っ鳎?荒茏魑?ㄖ?侄危?由疃远?淼睦斫猓?/SPAN>
  
  负负得正.
  
  这个法则无论是用“反方向运动”,还是用“借进借出”,学生理解起来都很别扭.而形式化的证明更不可能.对于初一学生,更重要的是运算,考虑到学生的“量力性”,不加选择地要求学生知道“为什么”是不合适的.既然如此,何不处理得简单一些?比如“开关”原理,开关两次才能回到原来的状态,学生很容易记住.
  
  需要说明的是,笔者并不崇尚这种并不严谨的教学,而是认为在一定的教学阶段可以采取这种方法,或者作为补充理解的手段.随着学习的进一步深入,往往有必要作数学化解释.
  
  解题教学
  
  数学习题有些可以纯粹模仿,依据某些固定程式,按部就班就能解答.如,合并同类项、解一元一次方程等.而有些习题的解答,似乎都有规律可循,但却无法程序化.我们常常有这种体会,突然间一种优美的解题方法出来了,连自己也吃惊.至于这种思路怎么产生的,我们自己也说不清,这种数学之“意”,无法直接传授给学生.
  
  在一次数学习题课上,笔者抛出了这样一题:
  
  如图2,正方形ABCD的边长为2,点E在AB边上,四边形EFGB也为正方形,设△AFC的面积为S.则()
  
  A.S=2B.S=2.4C.S=4D.S与BE长度有关


  

图2


  
  笔者没有立即“启发”,也没有“循循善诱”地引导学生解题,而是留出了足够的时间让学生去独立思考.并提出了这样几个要求:
  
  1.至少给出一种解法;
  
  2.尽可能多地想出多种解法,并对这些解法进行比较,哪一种解法更简捷?
  
  3.你是如何利用题中信息的?
  
  4.你是怎么想到这些解法的?
  
  在随后进行的交流中,学生先后给出了如下思路:
  
  笔者没有急于引导学生去发现FB∥AC,而是给学生提供更多、更宽泛的发散思维的机会,从而得到了丰富多彩的证明方法.通过比较反思,学生才能更多地体会到数学的“意”,积累更多的解题经验.奇怪的是,发现思路6这一简单证法的,并不是数学学习厉害的,而是一位数学中下水平的同学.通过了解得知,更多的学生在计算面积时按常规思路:直接计算或割补法,发现不便于直接计算,所以选择割补法.出现这一想法,显然是由于大量解题后的经验积累.而想到思路6的同学,并无明显的这种经验积累的痕迹,只是看出图中FB好像和AC平行,发现很容易证得.可见,过多的解题方法的总结,可能在解题时造成先入为主的现象,从而窒息或者窄化数学的“意”.这种现象在另一道习题的解答中也有反映.
  
  如图3,四边形ABCD和EFBG都是矩形,是否存在这样的直线,把这个图形的面积两等分?如果存在,有多少条?
  

图3


  
  由于刚刚学过矩形,很多学生立即想到矩形的中心对称性质,得到直线MN能把图形面积两等分.同样是一个数学成绩一般的学生不假思索地说:无数条.他的理由是,把一条直线从任意方向平移,把图形面积分割成两部分,这两部分的面积总会有由小到大,由大到小的过程,而这中间必然有相等的可能.这样的直线由于方向可以任意放置,所以有无数条.这样的解答过于直观,貌似不太严密.但这种数学的“意”确实珍贵,值得注意和保护.
  
  数学教学中,我们固然要重视显性的,可表述的数学经验和方法,但也不能忽视不可言传的“意”.而这种数学之“意”的形成一般不是靠教者言传或示范,而是靠学生通过丰富多彩的学习的过程去形成,这样才能到达得“意”而忘言的境界.
  
  正如老子所言:“道可道,非常道”[3].
  
  参考文献:
  
  1.冯友兰,中国哲学简史,[M].天津社会科学院出版社,2005.10:11.
  
  2.杨柳桥,庄子译注,[M].上海古籍出版社,2006.11:214~215.
  
  3.陈国庆、张爱东译注,道德经,[M].三秦出版社,1995.8:1.
  
  


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