作者：张昆 张凤琪
　　
　　数学教学设计的方式就应该是将数学知识还原、展开、重演、再现等一系列手段的运用，暴露数
　　
　　学知识发生时数学思维活动的全过程，再经由教师从打开获得的众多的知识发生途径的材料中，比较、辨别，作出选择，即将这种充分展开的过程进行浓缩，既能实现数学教学目标，也讲究精心利用宝贵的课堂教学时间，使单位时间内数学知识传授最多，从而既能真正地利用数学知识促进学生素质的发展，又能实现课堂上的高效教学．
　　
　　一、打开数学知识
　　
　　由上面的论述可知，数学知识只是意识机能(思维)活动过程的载体，学生通过对这种载体进行活动的过程，可能出现两方面的结果：
　　
　　其一，他创造性地解决了数学问题．“艺术的对象创造出懂得艺术的能够欣赏美的大众??任何其他产品也是一样．”…数学当然不会例外，这就是学生在数学学习中，经由不断地将生活问题数学化，通过审题、解题、演算、猜想、判断等数学实践活动，伴随着这一系列的实践活动，意识机能产生了数学思维活动，创造性地生成了数学知识．当然，这是最为理想的数学学习．但在绝大多数情况下，由于学生的数学认识结构所处的初级发展阶段，这种理想的知识产生过程是极难实现的．
　　
　　其二，学生与人类历史中的数学家天才性思考??人类智慧对话，与它们进行互渗、交融、交换，从中摄取营养来丰富个体自己的智慧，个体也能够为人类集体智慧添砖加瓦，使得人类智慧宝库所承载的智慧不断滚雪球般地加大，为后来人提供更加丰富，层次更深的智慧．“我们倾听巴赫的乐曲，不是被其音响所感染，而是为其思想所激动，这是因为我们在倾听一个人的思维”．改用这一句话，也可以如此说，我们学习数学，不是在学习数学知识，而是在学习人(类)的思维，是在与天才的数学家的智慧进行交换．
　　
　　这就是说，数学知识的发生必须要求学生经历数学思维活动过程，现成的数学知识不是学生亲身经历过的，数学知识中所隐含的促人发展的因素没有真正地作用于学生的精神资质，知识中隐含的数学家的发现数学知识的认识活动方式就不会自动地呈现出来，因此，要想办法让学生的意识机能经历这种知识的发现过程，并且不是简单的经历，而是积极主动地参与，亲身去体验，如此，才有可能将
　　
　　数学知识转化为学生的精神财富．就是要把知识原始获得的实践认识活动方式和过程，加以还原、展开、重演、再现……使学生个体与人类“总体”相遇．这就是将数学知识打开，怎样打开数学知识呢?我们来看一个例子：
　　
　　例l已知：如图1，在△ABC中，∠DAC=∠B．求证：∠ADC=∠BAC．
　　

      
　　打开1：要证明∠ADC=∠BAC，由于∠DAC+∠ADC+∠DCA=180?/SPAN>．∠ABC+∠BAC+∠ACB=180?/SPAN>，知∠DAC+∠ADC+∠DCA=∠ABC+∠BAC+∠ACB①，又∠DAC=∠ABC②，∠DCA=∠4∠B③，①式两边分别减去②和③的两边，就得到
　　
　　∠ADC＝∠BAC．
　　
　　打开2：要证明∠ADC=∠BAC，由于∠ADC就是∠2，∠BAC=∠1+∠3，于是，只要证明∠2=∠1+∠3①．如图2，由“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和”，知∠2=∠B+∠3②，比较①与②两式，知只要证明∠1=∠B就行了，而这正是已知．
　　
　　打开3：要证明∠4DC=∠．BAC，由于∠ADC即∠2的邻补角是∠3，∠BAC的邻补角是[4，由等角的补角相等，知只要证明∠3=∠4就达到目的了．如图3，由“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和”，知∠3=∠1+∠C①，∠4=∠B+∠C②，比较①和②，知要证明∠3=∠4，希望证明∠1=∠B，这正是已知．
　　
　　打开4：以线段AD为一边，在∠ADC的内部作∠2=∠3，所作的∠2的另一边交AC于E点，如
　　
　　图4，以下只要证明[1=∠4就达到目的了．由于∠2＝∠3，而“内错角相等，两直线平行”，知AB∥
　　
　　ED，而“两直线平行，同位角相等”，知∠1=∠B，由已知∠B=∠4，从而得到∠1=∠4．
　　
　　教师在作教学设计时，要不遗余力地充分打开数学知识．在打开所得到的很多材料中，分析、判断与选择这些材料的教育价值与学生意识机能所需要的营养相结合，教师就能依据培养目标选择出合适的教学思路，如鼓励探究性，培养创造性；设定学生所需要的某种数学方法，渗透学生意识机能中还不具备的某种数学观念等等．
　　
　　二、浓缩打开材料
　　
　　数学知识打开的过程是有层次性的，这就要求教师对知识特征与学生认知特征进行精准把握，为二者的渗透、融合创造条件，依据学生的认知特性，掌握好数学知识打开的层次与程度是极为重要的，因为数学知识的环节性与延伸性，不可能进行无限展开，否则，数学教学就陷入繁琐哲学，而不能自拔，致使数学课堂教学效率(知识发生量与所用时间之比)极低，这也是不行的．
　　
　　教师课前进行教学设计时，可以对数学知识的形成过程进行详细的还原、展开、重演、再现等活动过程．在此基础上，依据学生的认识特征，确定数学知识发生的心理起点，从中选择某一个数学知识点作为教学起点，而对这一知识点的来源不再追问，也可以确定某一知识点的比较合适的发生过程，而不应该，也不可能面面俱到地在课堂上引领学生经历与体验．如此，保证数学课堂教学不至于陷入那种纷繁的为展开知识而展开知识的活动．就是说，教师应依据知识的真实发生过程所获得的许多材
　　
　　料，进行辨别，作出选择，在教学中进行浓缩．
　　
　　这种浓缩的过程也是很重要的，因为，原原本本地照搬或复制数学家发现数学知识的认识活动
　　
　　的过程，必然会陷入无限后退之中，追踪到最后，又必然是来源于元知识领域，在课堂教学中，如此做法，是不可能的，也是不必要的，甚至是有害的．因此，对知识产生的真实过程要进行改造，作出选择，专门设计、简化、典型化，如缩短过程、平易难度、精简多余环节、模拟思维路径等等．这样，在展开之后，便沿着相反方向，进行压缩、提炼、抽象、概括、回归于数学结论、概念、公式、原理等．
　　
　　为了达到浓缩的目标，教师就要认真分析数学知识的特性，学生认知心理的特性，把握这两者关联的干预手段．对此，教师可以从这种打开的材料中作出价值评估，从而选择出课堂教学的路径．这种评估不是教师在主观想象中设定的，它有其客观依据的可行性．主要依据有：
　　
　　(1)知识出现的时序性．在例1中，已经有了四种生成知识的手段，由于这节课要巩固的内容是三
　　
　　角形的内角和定理及其推论，因此，我们可以选择打开1，或打开2；打开3也可以选择，它与三角形
　　
　　(3)学生知识发生的心理特征．数学教学不仅仅只是学生数学知识的增长过程，而且还要考虑学生心理发展过程，使知识发生的同时，对学生的情意产生影响，比如数学观念的渗透，数学情感的依附，数学价值判断的发生等等，这些都不是从数学知识的打开中直接获得的，它要求教师对打开的材料进行深层次的发掘，挖掘其中隐而不显的价值．
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