锐角三角形的垂足三角形有两个重要的性质,本文对这两个性质加以证明。
性质1锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心。
已知:如图1,锐角△ABC中,AD、BE、CF分别为边BC、AC、AB上的高,O为垂心。
求证:点O为垂足△DEF的内心。
证明:由已知条件可得D、C、E、O四点共圆,所以2=∠4;同理∠1=∠3,又∠3和∠4都与∠ABC互余,所以∠3=∠4;所以∠1=∠2,EB平分∠FED;同理可得FC、DA分别平分∠EFD与∠FDE。所以点O为△DEF的内心。性质1得证。
性质2锐角三角形的所有内接三角形中,垂足三角形的周长最短。
为了证明性质2,我们先看几个引理:
引理1已知:如图2,点E为锐角△ABC的边AC上一点,点E关于AB的对称点为G,关于AC的对称点为H,GE交AB于点P,EH交BC于点Q,GH交AB、BC分别于点F、D,△EMN是过点E的任一异于△DEF的内接三角形。若△DEF的周长记为L1,△EMN的周长记为L2。则有⑴L1=2PQ;⑵L1<L2。
证明:⑴连结MG、MH,由已知条件可得,PQ为△EGH的中位线,所以L1=2PQ;
⑵由已知条件易得L1=EF+FD+DE=GF+FD+DH=GH,L2=EM+MN+EN=GM+MN+NH>GH,所以L1<L2。
注:引理1证明了过三角形边上任一点存在周长最短的内接三角形,且其周长为定值。
引理2已知:如图3,若△DEF为锐角△ABC的垂足三角形,则△DEF是过点E的△ABC的内接三角形中周长最短的三角形。
证明:作点E关于AB的对称点为G,关于AC的对称点H,连结FG、DH、CF,由定理1可知,∠1=∠2;由对称性可得,∠3=∠4;再由CF⊥AB于F得,∠2+∠3=∠AFC=90o;所以∠1+∠2+∠3+∠4=2∠AFC=180o,即点G、F、D在同一直线上;同理可得,点H、D、F在同一直线上。所以,点G、F、D、H在同一直线GH上。所以F、D必为GH与AB、BC的交点。所以,由引理1可知△DEF是过点E的△ABC的内接三角形中周长最短的三角形。引理2得证。
注:引理2证明了垂足三角形是过某一垂足点的周长最短的内接三角形。
引理3在同圆或等圆中,相等的圆周(心)角所对的弦相等;在不等圆中,相等的圆周(心)角所对的弦,大圆的弦大于小圆的弦。(证明略)
性质2的证明:如图4,△DEF为锐角△ABC的垂足三角形(由引理2可得,△DEF为过点E的周长最短的内接三角形),△D1E1F1是过点E1的△ABC的内接三角形中周长最短的三角形(E1为AC边上异于点E的点)。以下证明△DEF的周长(记为L1)小于△D1E1F1的周长(记为L2)。
作点E关于AB的对称点为G,关于AC的对称点为H,连结GE交AB于点P,连结EH交AC于点Q,连结GH必交AB、BC分别于点F、D(由引理2保证);作点E1关于AB的对称点为G1,关于AC的对称点为H1,连结G1E1交AB于点P1,连结E1H1交AC于点Q1,连结G1H1必交AB、BC分别于点F1、D1(由引理1保证);由引理1可得,L1=2PQ,L2=2P1Q1;由对称性可得EP⊥AB于P,EQ⊥BC于Q,所以,点E、P、B、Q在以BE为直径的圆上;同理可得点E1、P1、B、Q1在以BE1为直径的圆上。所以,线段PQ、P1Q1可以分别看以BE、BE1为直径的两不等圆中相等的圆周角∠ABC所对的两条弦。又因为BE是垂线段,所以BE<BE1,由引理3可得PQ<P1Q1,所以L1<L2。性质2得证。
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