一. 教学内容：

导数的综合应用、极限、复数

二. 教学重难点：

1. 理解可能函数的单调性与其导数关系，会求函数的极值，最值

2. 掌握数列，函数极限的运算法则，会求数列函数极限，了解连续的意义

3. 了解复数的有关概念，能进行加、减、乘、除运算

【典型例题

[例1] 已知a为实数 在 和 上都递增，求 的取值范围。

解： ，即

① ∴

当 时，

当 时，

② 设

当 时，

由①②知： 且 上是减函数，求 的取值范围。

解：

令 或

∵

∴ ∴ ，函数 为何值时， 在 的取值范围。

解析：（1）对函数 ，得

从而 ， ，其中 变化时， 的变化如下表：

x

0

－

0

ㄊ

极大值

ㄋ

极小值

ㄊ

当 时， ， 在 上为减函数，在 时， 时， 时， 时， 上为单调函数的充要条件是 ，解得

综上 高中化学， 上为单调函数的充分必要条件为 ，即 的取值范围是 ， ，若 存在单调递减区间，求<0" style='' > 的范围。

解：

<3" style='width:89.25pt; >

令 ，即<5" style=' > 有解即可

∴

∵ （*）

设 ，

∵

当

∵ 不可能小于0

∴ 又∵ 且 ∴ ，即函数定义域为

，解得 ，

x

（0，10）

10

（10，30）

0

－

ㄊ

ㄋ

① 当 取得最大值为 即 时，在 取得最大值

。

解：∵

∴ 为方程

∴

[例7] 是否存在常数 对一切正整数 成立？证明你的结论。

解：分别将

∴

下面用归纳法证明

（1）当 时，成立

（2）假设 时，

左

由（1）（2）知等式对一切 成立

[例8] m取何实数时，复数 为实数

∴

② ∴ 且

③ ∴ 或

【模拟】

一. 选择题

1. 已知 在 上是单调增函数，则 的最大值是（ ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

2. 已知曲线 过点 ，则这一曲线在该点的切线方程是（ ）

A. D.

3. 已知 上有最大值6，那么此函数在 ，其中 时， ，则

C. 极大值为5，无极小值

D. 极小值为 ，无极大值

6. 函数 的极值点是（ ）

A. B. D. ；③ ；④ 时极限值为1的是（ ）

A. ①③ B. ②③ C. ③④ D. ①④

8. C. D. 。

（1）若 的取值范围。

（2）是否存在实数 ，使 上单调递减？若存在，求出 的取值范围；若不存在，请说明理由。

（3）证明 的上方。

2. 已知 的单调区间。

3. 某厂生产某种产品的固定成本（固定投入）为2500元，已知每年生产x件这样的产品需要再增加可变成本 ，因为 ，故 ∴ 得 ，

显然 ，其判别式 时恒有 为增函数

5. C

解析：令 或 ∴

而当 时， 为 时， ，得

当 ； 时， 不是极值点，同理 也不是 为 ，④的极限为1，所以选D

8. B

解析：∵ ∴ ∵ 在 上恒成立，即 恒成立

∵ ∴ 只需 时， ，

（2）由 上恒成立

得 ∴

当

即 上为减函数 ∴ ，使 上单调递减

（3）证明∵

∴ 上方

2. 解析：（1）当 ， ，所以当 在 内为减函数，在 内为增函数

（2）当

解得

由所以 在 内为增函数，在（3）当 ，解得 ，解得 ，所以当 时， 内为增函数，在

，得 时， ，所以 时， 元

因此，要使利润最大，该厂应生产这种产品60件，最大利润为9500元

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