一. 教学内容:
导数的综合应用、极限、复数
二. 教学重难点:
1. 理解可能函数的单调性与其导数关系,会求函数的极值,最值
2. 掌握数列,函数极限的运算法则,会求数列函数极限,了解连续的意义
3. 了解复数的有关概念,能进行加、减、乘、除运算
【典型例题
[例1] 已知a为实数 在 和 上都递增,求 的取值范围。
解: ,即
① ∴
当 时,
当 时,
② 设
当 时,
由①②知: 且 上是减函数,求 的取值范围。
解:
令 或
∵
∴ ∴ ,函数 为何值时, 在 的取值范围。
解析:(1)对函数 ,得
从而 , ,其中 变化时, 的变化如下表:
x
0
-
0
ㄊ
极大值
ㄋ
极小值
ㄊ
当 时, , 在 上为减函数,在 时, 时, 时, 时, 上为单调函数的充要条件是 ,解得
综上 高中化学, 上为单调函数的充分必要条件为 ,即 的取值范围是 , ,若 存在单调递减区间,求<0" style='' > 的范围。
解:
<3" style='width:89.25pt; >
令 ,即<5" style=' > 有解即可
∴
∵ (*)
设 ,
∵
当
∵ 不可能小于0
∴ 又∵ 且 ∴ ,即函数定义域为
,解得 ,
x
(0,10)
10
(10,30)
0
-
ㄊ
ㄋ
① 当 取得最大值为 即 时,在 取得最大值
。
解:∵
∴ 为方程
∴
[例7] 是否存在常数 对一切正整数 成立?证明你的结论。
解:分别将
∴
下面用归纳法证明
(1)当 时,成立
(2)假设 时,
左
由(1)(2)知等式对一切 成立
[例8] m取何实数时,复数 为实数
∴
② ∴ 且
③ ∴ 或
【模拟】
一. 选择题
1. 已知 在 上是单调增函数,则 的最大值是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
2. 已知曲线 过点 ,则这一曲线在该点的切线方程是( )
A. D.
3. 已知 上有最大值6,那么此函数在 ,其中 时, ,则
C. 极大值为5,无极小值
D. 极小值为 ,无极大值
6. 函数 的极值点是( )
A. B. D. ;③ ;④ 时极限值为1的是( )
A. ①③ B. ②③ C. ③④ D. ①④
8. C. D. 。
(1)若 的取值范围。
(2)是否存在实数 ,使 上单调递减?若存在,求出 的取值范围;若不存在,请说明理由。
(3)证明 的上方。
2. 已知 的单调区间。
3. 某厂生产某种产品的固定成本(固定投入)为2500元,已知每年生产x件这样的产品需要再增加可变成本 ,因为 ,故 ∴ 得 ,
显然 ,其判别式 时恒有 为增函数
5. C
解析:令 或 ∴
而当 时, 为 时, ,得
当 ; 时, 不是极值点,同理 也不是 为 ,④的极限为1,所以选D
8. B
解析:∵ ∴ ∵ 在 上恒成立,即 恒成立
∵ ∴ 只需 时, ,
(2)由 上恒成立
得 ∴
当
即 上为减函数 ∴ ,使 上单调递减
(3)证明∵
∴ 上方
2. 解析:(1)当 , ,所以当 在 内为减函数,在 内为增函数
(2)当
解得
由所以 在 内为增函数,在(3)当 ,解得 ,解得 ,所以当 时, 内为增函数,在
,得 时, ,所以 时, 元
因此,要使利润最大,该厂应生产这种产品60件,最大利润为9500元
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