一. 教学内容:两条直线的位置关系及其判定
二. 重点难点:
1. 两条直线的位置关系
(1)相交直线 有且仅有一个公共点
(2)平行直线 在同一平面内,无公共点
(3)异面直线 不同在任何一个平面内,无公共点
2. 平行公理
3. 平行的判定
(法一)平行公理
(法二)中位线
(法三)平行四边形
4. 异面的判定
反证法
【典型例题
(一)平行直线
[例1] 如图,正方体 ,E、F、G、H、M、N为各棱中点,求证:EFGHMN为正六边形。
证:显然EF=FG=GH=HM=MN=NE
E、F为中点,EF//BD
∴ EF//NG 确定平面 与 有三个不在同一条直线上三点E、F、G
∴ 重合 ∴ E、F、G、H、N五点共面
同理E、F、G、H、M、N六点共面
且EF//MH、FG//NM、EN//GH
∴ EFGHMN是正六边形
[例2] 如图,E、F、G、H、M、N为四面体ABCD各棱中点,求证:EF、GH、MN三条线段交于一点且两两平分。
证明: EMFN
∴ EF、MN互相平分 ∴ EF、GH、MN三条线交于一点且互相平分
(二)异面直线证明
[例1] ,C、 。求证:
(1)AC、BD成异面直线;
(2)AD、BC为异面直线。
证:
(1)假设AC、BD非异面直线 则存在平面 过AC、BD
即:AC、BD
∵ A、B ,C、D ∴ 、 与已知矛盾
∴ 假设不成立 ∴ AC、BD为异面直线
[例2] 不共面直线 ,求证:MN、PQ为异面直线。
证:假设MN、PQ为共面直线 ∴ 存在平面 ,过MN、PQ
&there4 高考; MN、PQ ∴
又 ∵ , 即
(三)异面直线判断
[例1] 如图正方体 成异面的直线的棱有多少条?
(2)与AB成异面直线的棱有多少条?
(3)与BD成异面直线的棱有多少条?
(4)正方体12条棱中异面直线共有多少对?
解:(1)6条:
(4)24对:与AB异面的共4对,12条棱。
∴ 48对 每一对数两遍 ∴
[例2] 如图,空间四边形ABCD中,G、E AD。图中9条线中有异面直线多少对?
解:16对:
AB与CD、AB与EF、AB与EH、AB与GH;
AB与GF、BC与AD、CD与EF、CD与EH;
CD与FG、CD与GH、BD与EF、BD与EH;
BD与GF、BD与GH、EH与FG、EF与GH。
【模拟】(答题时间:60分钟)
一. 选择:
1. 异面,则 的关系为( )
A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 以上均有可能
2. 三个角为直角的四边形为( )
A. 一定为矩形 B. 一定为空间四边形
C. 以上均有可能 D. 以上均不正确
3. AB、CD分别是两条异面上线段,M、N分别是它的中点,则有( )
A.
C. 与4. 分别与两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是( )
A. 平行或相交 B. 相交或异面 C. 平行或异面 D. 均有可能
5. 同时与 相交
B. 至少与 中一条相交
D. 与
【试题答案】
1. D 2. C 3. B 4. B 5. B
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