数列的基本概念与等差数列

编辑: 逍遥路 关键词: 高中数学 来源: 高中学习网

一. 教学内容:数列的基本概念与等差数列

二. 教学目标:

1. 理解数列及其有关概念,了解数列和函数之间的关系。

2. 了解数列的通项公式,并会用通项公式写出数列的任意一项。

3. 对于比较简单的数列,会根据其前几项写出它的通项公式。

4. 明确等差数列的定义,掌握等差数列的通项公式。

5. 熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式。

6. 了解等差数列的一些性质,并会用它们解决一些相关问题。

三. 本周要点:

4,5,6,7,8,9,10. ①

1, , , , ,…. ②

1,0.1,0.01,0.001,0.0001,…. ③

1,1.4,1.41,1.414,…. ④

-1,1,-1,1,-1,1,…. ⑤

2,2,2,2,2,…. ⑥

观察这些例子,看它们有何共同特点?

(一)数列的基本概念

1. 数列的定义:按一定次序排列的一列数叫做数列。

2. 数列的项:数列中的每一个数都叫做这个数列的项。各项依次叫做这个数列的第1项(或首项),第2项,…,第n 项,…。

3. 数列的一般形式: ,其中 的第n项注意:⑴并不是所有数列都能写出其通项公式,如上述数列④;

⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的,如数列:1,0,1,0,1,0,…,它的通项公式可以是

⑶数列通项公式的作用:①求数列中任意一项;②检验某数是否是该数列中的一项。

从映射、函数的观点来看,数列也可以看作是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3,…,n})的函数,当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值,数列的通项公式就是相应函数的解析式。

对于函数,我们可以根据其函数解析式画出其对应图象,看来,数列也可根据其通项公式画出其对应图象,下面同学们练习画数列①,②的图象,并总结其特点。

5. 数列的图像都是一群孤立的点。

6. 数列有三种表示形式:列举法,通项公式法和图象法。

7. 有穷数列:项数有限的数列。例如,数列①是有穷数列。

8. 无穷数列:项数无限的数列。

(二)等差数列

1. 等差数列:一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列,这个常数就叫做等差数列的公差(常用字母“d”表示)。

⑴公差d一定是由后项减前项所得,而不能用前项减后项来求;

⑵对于数列{ - ,则此数列是等差数列,d 为公差。

2. 等差数列的通项公式:

3. 等差中项:如果a,A,b成等差数列,那么A叫做 a与b的等差中项。

如数列:1,3,5,7,9,11,13…中

5是3和7的等差中项,1和9的等差中项。

9是7和11的等差中项,5和13的等差中项。

看来,4. 性质:在等差数列中,若m n=p q,则, (m, n, p, q ∈N )

但通常 ①由 推不出m n=p q ,②

5. 等差数列的前 项和公式 (1) (2)

公式二又可化成式子:若 。

【典型例题

例1. 根据下面数列

解:(1)

例2. 写出下面数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数:

(1)1,3,5,7;

(2) ,- .

解:

(1)项1=2×1-1 3=2×2-1 5=2×3-1 7=2×4-1

↓ ↓ ↓ ↓

序号 1 2 3 4

即这个数列的前4项都是序号的2倍减去1,

∴它的一个通项公式是: (2)序号:1 2 3 4

↓ ↓ ↓ ↓

项分母:2=1 1 3=2 1 4=3 1 5=4 1

↓ ↓ ↓ ↓

项分子: 22-1 32-1 42-1 52-1

即这个数列的前4项的分母都是序号加上1,分子都是分母的平方减去1,∴它的一个通项公式是:

这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数,且奇数项为负,偶数项为正,所以它的一个通项公式是: 例3. ⑴求等差数列8,5,2…的第20项

⑵ -401是不是等差数列-5,-9,-13…的项?如果是,是第几项?

n=20 高中英语,得⑵由得数列通项公式为:

由题意可知,本题是要回答是否存在正整数n,使得 成立解之得n=100,即-401是这个数列的第100项。

例4. 在等差数列 ,求 , ,

解法一:∵ , ∴解法二:∵ ∴

小结:第二通项公式 【模拟】

1、根据下面数列的前几项的值,写出数列的一个通项公式:

(1)3, 5, 9, 17, 33,……;

(2) , }中,(1)已知 =19,求 与d;(2)已知 =3,求 。

4、在等差数列 , 中, 若 =2n+1;

(2) = ;

(4)将数列变形为1+0, 2+1, 3+0, 4+1, 5+0, 6+1, 7+0, 8+1, ……,

∴ =(-1) n(n+1)

2、(1)解:根据题意可知: =3,d=7-3=4

∴该数列的通项公式为: =4n-1(n≥1,n∈N*)

∴ =10 (n-1)×(-2),即:<1" style='width:14.25pt; > =-2n 12,

∴ =-2×20 12=-28.

(3)解:根据题意可得:<3" > =2,d=9-2=7.

∴此数列通项公式为: =-<8" > n <9" > ,

令- n =-20,解得n=

因为- n =-20没有正整数解,所以-20不是这个数列的项。

3、解:(1)由题意得: 解之得:

(2)解法一:由题意可得: , 解之得

∴该数列的通项公式为: = 3d,∴ =3 3×(-1)=0.

4、解:由题意可知

解之得 ,即这个数列的首项是-2,公差是3。

或由题意可得: ,即:31=10 7d

可求得d=3,再由



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