作者：李树臣
全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》(以下简称《标准》)在“基本理念”中，强调“数学教学活动必须……向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们……获得广泛的数学活动经验”．在“设计思路”中，不仅使用了“了解(认识)、理解、掌握、灵活运用”等刻画知识技能的目标动词，而且使用了“经历(感受)、体验(体会)、探索”等刻画数学活动水平的过程性目标动词．这些“动向”表明，数学教学应实现过程化．所谓数学教学过程化，就是在数学教学过程中，通过创设一定的问题情境，引导学生经历数学知识的形成和发展过程．为此，教师应把数学概念的建立过程、运算法则及定律的归纳过程、数学命题的发现过程、解(证)数学题目时思路的分析过程等充分“暴露”给学生，以避免教学中过于注重结果的倾向．只有这样，才能真正使学生从“被动地接受”转向“主动地建构”．在此，本文就数学教学过程化的实施策略问题做以探讨，以期与同仁探讨．
策略1：让学生经历概念形成的过程
决定数学教学效果的首要因素、基础因素和贯穿始终的因素，就是要明确概念．曹才翰先生曾说：
“概念是思维的细胞”．由于受学习内容、时间等多方面因素的影响，教材中不可能把每个数学概念的形成过程都一一展现出来，许多概念都是以精炼的定义的形式呈现的，而略去了其“精彩”的形成过
程，仅为学生的数学学习活动提供了基本线索、基本内容和主要的数学活动机会．因此，教学中，教师应抓住一些典型的基本概念，关注它们的实际背景与形成过程，并充分地展现给学生，以帮助学生理解概念的“来龙去脉”，在经历概念的形成过程中加深对概念的理解，使学生记忆深刻、理解到位、应用灵活．
案例1“锐角三角函数的概念”的教学．
“锐角三角函数的概念”这节课的内容，对于培养学生的创新能力和探索精神是很好的素材，教师应把三角函数概念的产生过程充分地展示给学生．
(1)在计算“比值”的过程中，剖析概念的本质，明确概念的外延．
对概念的深化，必须从概念的内涵和外延人手，深入进行剖析，抓住概念的本质特征．对于三角函数，可抓住正弦函数进行重点剖析：正弦函数涉及比的定义、角的大小、点的坐标、距离公式、相似三角形、函数概念等知识；正弦函数的值在本质上是一个“比值”，为了突出这个比值，教师可结合图1做如下引导．
①正弦函数是一个比；
②这个比是∠α的终边上任意一点的纵坐标)，与这一点到原点的距离r的比值；
③这个比值随∠α的确定而确定，与点在∠α的终边上的位置无关(这一点可以利用相似三角形的原理来说明)；
④lyl≤r，所以这个比值不会超过1．
以上就是正弦函数概念的本质属性．教师在启发学生认识、理解上述本质属性的同时，要引导学生通过探索、交流发现：∠α的终边上的一点P(x，y)一旦确定，就涉及x、y、r这三个量，任取其中两个量就可以确定一个比值，这样的比值有且只有6个．因此，基本三角函数只有6个，这便是三角函数的外延，在初中，我们仅学习其中的4个．
(2)引导学生探索得到“比值就是函数”的结论．
紧扣函数这一概念，让学生找出上述“比值”中的自变量、函数以及它们的对应规律(这时，自变量是α，函数是“比”．之所以将这个“比”叫做∠α的函数，是因为对于[仅的每一个确定的值，都有一个确定的比值与之相对应)．有了这样的一些认识，学生对正弦函数的理解就比较深刻了．
(3)展示三角函数概念的产生过程．
我们知道，数学概念是用定义来叙述的，定义是揭示概念内涵的逻辑方法．任何定义都由被定义项、定义项和定义联项(是，叫做等)组成．属加种差定义是数学概念最普遍和最常用的一种定义方式，其一般形式可用以下公式表示：
被定义项=邻近的属+种差．
例如，矩形可以用属加种差的方式定义为：
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．
种差属被定义项
发生定义是一种常见的特殊的属加种差的定义方式，它是用一类事物产生或形成的情况作为种差
所作出的定义，即没有直接说明种差，而是将其放在一个动态的过程中．因此，发生定义是以概念的发生或形成的本质属性作为种差的定义．三角函数概念就是一个用发生定义方式定义的概念，它的种差就是三角函数的发生(形成)的过程，要给出它的定义，应借助于图形，揭示出三角函数概念的发生过程．对于三角函数概念的产生过程，实质上可以给出如下的构造程序：
①建立坐标系；
②计算∠α终边上一点P(x，y)到原点的距离r；
④分别给出四个比的名称；
⑤给出三角函数的定义．
在具体引导时，应揭示出三角函数的产生过程，以利于学生的接受和理解．例如，sin30?/SPAN>的产生过程是：建立如图2所示的平面坐标系，在30。角的终边上任取一点P(x，y)，显然，点P到原点的距离r=2y，所以sin ，
这样，在教师的引导下，学生经历了三角函数概念的形成过程．在数学概念的教学过程中，教师应注意揭示概念的形成过程，并设法引导学生主动地参与到构建数学概念的过程中，以加深学生对概念的理解．
策略2：在解题教学过程中，让学生经历“分析题意一探索解法一整理叙述”的过程
问题是数学的心脏，数学教学的核心就是培养学生解决数学问题的能力．在数学解题教学的过程中，应把重点放在引导学生对解题思路的探索和对解题方法、规律的概括上，因为思考问题的过程本身，在很大程度上就体现出了这个数学问题当初被发现的过程．同时，教师应注意让学生独立思考，学会分析、判断、推理、发现，进而解决问题，不仅要讲解“成形”的方法，还要把自己猜测、试探的心理过程告诉学生，这样的教学，将有利于学生想象力、直觉思维能力的发展和灵感的产生．
实践表明，按照波利亚的“解题表”进行解题思维的展现是行之有效的．具体说来，可按以下4个步骤进行操作．
(1)弄清问题．
拿到一个问题，应首先弄清它的条件和结论．所谓弄清条件，是指罗列明显条件，挖掘隐含条件，弄清条件的等价说法，对条件做适合解题需要的转换．所谓弄清结论，是指罗列解题目标，分析多目标之间的层次关系，弄清目标的等价说法，追求目标成立的充分条件，然后弄清它的结构，辨明题型．
对照图3，首先明确此题为证明题．
(2)探索解法，拟订计划．
在弄清问题之后，必须弄清已知的条件和结论之间的关系，从而探索解题途径，这是整个解题过程的中心环节．为了得到问题的解法，应该拟订一个计划．
对于此例，可以看到，目标的特点非常突出，是中线和三边的平方之问的关系．那么，哪些知识与边的平方有联系呢?于是便很容易联想到勾股定理．要使用勾股定理，只需作辅助线AF⊥BC，垂足为点F(如图4)，构造直角三角形就可以了．
根据以上的分析，可以拟定此题的解题计划：
①作辅助线A，上BC，垂足为点F；
②建立关系式①和②；
③消去DF，整理成目标的形式．
(3)整理叙述，实行计划．
探索得到解法之后，要认真地加以整理，用确切的数学语言将解题过程表述出来．在表述的过程中，要求层次分明、条理清晰、文字精炼、格式规范、合乎逻辑，并仔细地检查每一个步骤．
对于此例，在实行计划时，应分为两种情况：
①当AB≠AC时，不妨设AB>AC作AF⊥BC，垂足为点F(如图4)．
则在Rt△BFA和Rt△DFA中，由勾股定理，得
(4)回顾反思，检查验算．
这是解题的最后一个环节，检查验算主要是看结果是否正确，推理是否合乎逻辑，步骤是否完整，以便及时地查漏补缺，纠正错误．
回顾此例，因为是证明题，所以只需保证每一步推理的正确性．检查推理的每一步，依据都很充分，从讨论上看，没有遗漏的情况，因而是正确的．
在解题教学中，如果能长期坚持这样的训练，学生的解题能力必将得到较大的提高．教师在解题教学中，可以依此策略，将重点放在引导学生探索解法上，在学生探索得到解法之后，要鼓励他们进行讨论、相互交流，而不要直接由教师进行讲解，否则，就会出现“学生学得快，忘得更快”的现象．
策略3：在数学性质(定理)的教学过程中，应重点引导学生分清它们的条件和结论，理解抽象、概括或证明的过程
在数学性质(定理)的教学过程中，应引导学生弄清它们的来源，分清它们的条件和结论，理解抽象、概括或证明定理的过程，从而让学生做到“既知其然，又知其所以然”．
在探求证明的过程中，可采用直观操作和推理论证相结合的方式．
案例3“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”的发现与证明过程．
“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”是平行四边形的判定定理之一，是在学生操作实验
的基础上得到的，教学中，应要求学生进行动手操作(剪、拼、接三角形硬纸片)，并把论证作为学生探索活动的自然延伸和必要的发展，让学生在拼接三角形硬纸片的过程中，发现证明该定理的思路．
(1)剪两个同样大小的三角形硬纸片△ABC，△A’B’C’(三边都不相等)；
(2)用这两个三角形拼成四边形，观察所得到的四边形的特点，你能得到怎样的猜想?相互交流自己的想法；
(3)证明所得到的猜想，将其归纳成一般结论．
学生进行的操作过程如图5所示：
由上面的操作过程，学生会发现，如图6，在四边形ABCD中，已知AB=CD，且BC＝AD，要证明四边形ABCD是平行四边形，只需连接AC，并证明△ABC与△CDA全等即可．这个证明思路就是在拼接三角形纸片的过程中发现的．
在数学性质、定理的教学中，要把重点放在引导学生探究性质和定理的发现过程、证明思路的猜测过程和证明方法的尝试过程上，以避免出现学生所反映的“老师添设辅助线总是‘马到成功’，演算证明总是简捷又灵活”，“我们是一听就懂，但一做题就错(或不会)”的现象．
策略4：引导学生参与综合实践活动
新课改重视让学生参与综合实践活动，让学生运用自己已有的知识和经验，经过自主探索和合作
交流，解决与生活经验密切联系、具有一定挑战性的问题，以发展他们解决问题的能力．例如，在学习了全等三角形的知识后，可以引导学生实地测量不能到达的两点之间的距离；在学习了相似三角形的知识后，可以测量某座高楼的高度；等等．
进行综合实践活动，不同于直接解答给定的问题，综合实践活动用的时间比较长，它是一种具有现实性、问题性、实践性、综合性和探索性的学习活动，一般分为以下3个阶段：
(1)进入问题情境阶段；
(2)实践体验阶段；
(3)解决问题阶段．
这就要求学生必须参与以上3个阶段的全部过程，而不是只参与其中的某些环节．
案例4调查某校八年级学生的视力情况．
此案例安排在学完统计的有关知识之后进行，要求学生利用统计的有关知识，通过调查学生的视
力情况，作出判断，提出改进建议，从而培养学生的统计意识．指导学生调查时，要以学生亲身经历和体验统计过程为主线，引导学生发现并提出问题，用适当的方法收集和整理数据，用合适的图表展示数据，对数据做简单的分析，并对自己的分析、思考进行交流和改进．
综合实践活动中，应让学生参与调查的全过程，仔细分析这个问题可以发现，这个调查活动应分为“提出问题一收集、整理数据一分析判断”3个阶段进行．
(1)提出问题．
综合实践活动的第一步(进入问题情境)，对本案例而言就是明确活动的目标，提出具体的问题．
这个案例的目标非常明确(调查某校八年级学生的视力情况)，范围也相对较小(在某学校八年级
学生中进行调查)，方法有两种：一是普查；二是抽样调查．如果该校八年级学生不是很多，可以采用普查的方法．如果学生较多，可以采用抽样的方法，这时应提醒学生注意样本选取的代表性和适当的样本容量．
通过组织学生讨论，决定采取抽样的形式进行调查，为了便于记录和统计，很容易想到设计一个记录表(如下页表1)：
(2)收集、整理数据．
综合实践活动的第二步(实践体验)，对本案例而言就是具体调查，把调查过程中得到的数据收集
起来并加以分析．从该校八年级学生中随机抽取了50名学生进行视力检查，收集到了100个数据(具
体数据略)，把这些数据填在表l中，为了便于分析，对这100个数据进行简单的统计汇总．
①右眼情况：视力是0.1的1人；视力是0.2的1人；视力是0.3的2人；视力是0．4的2人；视力是0.5的2人；视力是0.6的3人；视力是0.7的4人；视力是0.8的5人；视力是1.0的9人；视力是1.2的10人；视力是1.5的11人．
②左眼情况：视力是0.1的1人；视力是0.2的2人；视力是0．3的1人；视力是0．4的5人；视力是0.5的3人；视力是0.6的5人；视力是0.7的2人；视力是0.8的4人；视力是1.0的10人；视力是1.2的7人；视力是1.5的10人．
同时把上述收集汇总后的数据整理如下．
右眼情况(如表2)：
表2左眼情况(如表3)：
表3
(3)分析判断．
综合实践活动的第三步(解决问题)，对本案例来说就是通过对调查得到的数据进行分析，得到一些判断，提出一些建设性的建议．本次调查可得到的判断很多，列举部分如下．
①只要是视力低于1．5的就算是近视眼，所以结论是该校八年级学生中视力情况不容乐观．就右眼来说有39人近视；就左眼来说有40人近视．
②这50名学生右眼视力的平均值为：
③该校八年级学生右眼的视力好于左眼的视力．
④同学们应加强体育锻炼，注意看书的姿势，减少看电视及上网的时间．
调查视力的活动，让学生既加深了对统计等有关知识的理解，又学会了运用所学知识解决实际问
题的方法，还有助于学生养成良好的生活习惯，对于形成相互合作的团队意识也是非常必要的．
数学教学应实现过程化。布鲁纳指出：“我们教一门科目，并不是希望学生成为该科目的一个小型
书库，而是要他们参与获得知识的过程．学习是一种过程，而不是结果．”弗赖登塔尔曾说：“数学教学必须通过数学化来进行．”因此，我们提出了以上4个常用策略，愿与广大一线教师相互切磋，共同提高数学教学的效率和质量，发展学生的创新能力和动手操作能力．
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