一. 教学内容：直线与圆的位置关系（二）

二. 重点、难点：

1. 相交弦定理

2. 割线定理

3. 切割线定理

4. 切线长定理

【典型例题】

[例1] 如图，⊙O是直角三角形的直角边AB为直径的圆ED与⊙O切于D，求证：

证明：连结OD、BD ∵ EB、ED都是⊙O的切线 ∴ EB=ED 又EO=EO

∠EBO=∠EDO=90° ∴ △EBO≌△EDO ∴ ∠1=∠2

∵ ∠A=< style= > ∠DOB=∠1，AO=OB ∴ EO CA ∵ OB=OD，∠1=∠2

∴ BD⊥OE ∴ BD⊥CA 又 AB⊥BC ∴ △ABC∽△BDC

∴ 即

[例2] 如图，AB是半圆的直径，E是 上任意一点，过E作半圆的切线CD，分别过A，B作半圆的切线交CD于C、D两点，连结AD，BC交于P点，连结EP且延长交AB于F点，求证：EP=FP。

证明：∵ CA、CE是⊙O的切线 ∴ CA=CE 同理DE=DB

∵ CA是切线且AB为直径 ∴ CA⊥AB 同理DB⊥AB

∴ CA//DB ∴ △CAP∽△BDP ∴

∴ EP//CA ∴ ∴ ∴

[例3] 如图所示，已知：P为正△ABC外接圆上一点，连结PB，PC和PA，D是PA和BC的交点。求证：

证明：在△PBD和△CAD中，∵ ∠PBD=∠CAD ∠PDB=∠CDA

∴ △PBD∽△CAD ∴ 同理可证∴ ∴

[例4] 如图，已知O是△ABC的外心，I是△ABC的内心，且∠I ∠BOC=180°，求∠BAC。

解：∵ ∠BOC=2∠A ∠BIC=90° 2∠A=180°

5∠A=180° ∠A=36°

[例5] 如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，直线CE和⊙O切于点C，AD⊥CE，垂足为D，求证：AC平分∠BAD。

证明：连结BC ∵ AB是⊙O的直径 ∴ ∠ACB=90° ∴ ∠B ∠CAB=90°

∵ AD⊥CE ∴ ∠ADC=90° ∴ ∠ACD ∠DAC=90°

∵ AC是弦，且CE和⊙O切于点C ∴ ∠ACD=∠B ∴ ∠DAC=∠CAB

∴ AC平分∠BAD

[例6] 已知：如图，⊙O和⊙O′都经过A、B两点，AC是⊙O′的切线交⊙O于点C，AD是⊙O的切线交⊙O′于点D，求证：

证明：∵ ∠C=∠1 ∠2=∠D ∴ △ACB∽△DAB ∴

∴

[例7] 已知：如图，⊙O的割线PAB交⊙O于点A和B，PA=6cm，AB=解：设⊙O的半径为r，PO和它的延长线交⊙O于C、D

根据切割线定理的推论，有∵ PB=PA AB=∴ ∴ ⊙O的半径为8cm

[例8] 已知：如图所示，在△ABC中，∠A=15°，∠ACB=90°，BC=1，O为AC上一点，以O为圆心，OC为半径的半圆交AB于E、F两点，且E为AB的中点，D为半圆与AC的另一交点。

（1）求CF的长；

（2）求BF的长；

（3）求证：AD是方程解：（1）连结CE ∵ E是 的斜边AB的中点 ∴ CE=AE

∴ ∠ECA=∠A=15° ∴ ∠FEC=30°

由题意可知，BC垂直于⊙O的半径OC ∴ BC与⊙O相切于点C

∴ ∠BCF=∠FEC=30° ∵ ∠B=90°－∠A=75°

∴ ∠BFC=180°－（∠B ∠BCF）=180°－（75° 30°）=75°

∴ ∠B=∠BFC ∴ CF=BC=1

（2）连结OE、OF ∵ OC=OF ∠COF=2∠FEC=60°

∴ △COF是正△ ∴ OC=OF=CF=1

∵ ∠ ECF=90°－（∠BCF ∠ECA）=90°－（30° 15°）=45°

∴ ∠EOF=2∠ECF=2×45°=90°

∴ △EOF是等腰直角三角形 ∴ EF=由切割线定理得∴ 即

解得 ， （舍）

（3）∵ ∴ ∵ AF=AE EF=∴ 根据切割线定理

即

∴ AD是方程

[例9] 已知圆中两条弦相交，第一条弦被交点分为12cm和16cm两段第二条弦的长为32cm，求第二条弦被交点分成的两段的长。

解：设第二条弦被交点分成的一段长为xcm，则另一段长为

根据相交弦定理有

另一段 或另一条弦被交点分成的两段长分别为8cm，24cm。

[例10] 如图所示，⊙O分别切AB、AC于E、F，且交BC于M，N两点，∠A=90°，∠B=∠C，EB=1，△ABC的面积为S1，⊙O的面积为S2，（1）求证：BM=NC；（2）求BM。

证明：（1）连结AO交BC于D ∵ AB、AC都是⊙O的切线

∴ ∠DAB=∠OAC ∵ ∠B=∠C ∴ AB=AC ∴ AO是BC的垂直平分线

∴ BD=DC ∵ OD⊥MN ∴ MD=DN ∴ BM=NC

（2）连结OE、OF，则四边形AEOF是四边形，设AE=x，则AB=x 1

S1= S2­= 或∴ AE=4 AB=5 BC=设BM=y，由切割线定理得

即 ∴

【模拟

1. 给出下列说法：① 和圆有一个公共点的直线是圆的切线；② 和半径垂直的直线是圆的切线；③ 到圆心的距离等于这个圆的半径的直线是圆的切线；④ 圆的切线垂直于半径。其中正确的个数是（ ）

A. 0 高考 B. 1 C. 2 D. 3

2. ⊙O1和⊙O2的半径分别为8和5，两圆没有公共点，则圆心距O1O2的取值范围是（ ）

A. O1O2­>13 B. O1O2<3

C. 3<O1O2<13 D. O1O2>13或O1O2<3

3. 圆的最大弦长为m，若直线与圆相交，设圆心到直线的距离为 ，则（ ）

A. B. D.

5. 如图所示，两枚大小相同的硬币，一枚固定不动，另一枚绕其边缘滚动（无滑动），当运动硬币滚动到原来位置（与第一次重合）时，运动硬币外转了（ ）

A. 1圈 B. 2圈 C. 3圈 D. 4圈

6. 如图，⊙M与x轴相切于原点，平行于y轴的直线交圆于P、Q两点，P在Q点的下方，若点P的坐标（2，1），则圆心M的坐标是（ ）

A.（0，3） B.（0， ） C.（0，2） D.（0， ）

7. 如图，直线 与⊙O1、⊙O2、⊙O3都相切，且这三圆两两相切，⊙O3的半径为4，⊙O1与⊙O2是两个相等圆，则⊙O1的半径是（ ）

A. 4 B. 8 C. 12 D. 16

8. 如图，⊙O1与⊙O2，它们的半径分别为3和1，过O1作⊙O2的切线，切点为A，则O1A的长为（ ）

A. 4 B. 2 C.

9. 现在半径为R的两圆外切，能与这两圆都相切且半径为2R的圆共有（ ）

A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个

10. 如图，⊙O1与⊙O2外切于点P，直线AB过点P交⊙O1于A，交⊙O2于B，点C、D分别为⊙O1、⊙O2上的点，且∠ACP=65°，则∠BDP等于（ ）

A. 30° B. 45° C. 55° D. 65°

11. 如图，三个半径为<4" height:107.25pt'>

12. 在△ABC中，∠C=90°，AB=3cm，BC=2cm，以点A为圆心，以2cm 为半径作圆，则点C和⊙A的位置关系是（ ）

A. C点在⊙A上 B. C点在⊙A外

C. C点在⊙A内 D. 不能确定

13. 如图，在⊙O中，AB、AC是⊙O内相垂直的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，且AB=8cm ，AC=6cm ，那么⊙O的半径OA长为（ ）

A. 4cm B. 5cm C. 6cm D. 8cm

14. 如图，⊙O的半径OA=6，以A为圆心，OA为半径的弧交⊙O于B、C点，则BC等于（ ）

A. <6" style='width:24pt; > B. C.

15. 下列命题中，正确的是（ ）

A. 三点可以确定一个圆

B. 三角形的外心是三角形三边中线的交点

C. 一个三角形有且只有一个外接圆

D. 三角形的外心必在三角形的内部

16. 已知⊙O的半径为r，圆心O到直线 的距离为 ，若直线 与⊙O有交点，则下列结论正确的是（ ）

A. C.

17. 已知两圆的半径分别为R1，R2，两圆的圆心距为 ，如果两圆既有内公切线，又有外公切线，那么这两圆半径的和与圆心距之间的关系应是（ ）

A.

C.

18. 如图，半径为4的两等圆外切，它们的一条外公切线与两圆围成的阴影部分中，存在的最大圆的半径等于（ ）

A. B. C. D. 1

19. 如图，两个以O为圆心的同心圆AB切大圆于B，AC切小圆于C，交大圆于D、E，AB=12，AO=15，AD=8，求两圆的半径。

【试题答案

1. C 2. D 3. D 4. C 5. B 6. B 7. D 8. C 9. D 10. D

11. B 12. B 13. B 14. A 15. C 16. B 17. C 18. D

19. 解：连结OB、OC ∵ AB切大圆于B，AC切小圆于C

∴ OB⊥AB，OC⊥AC ∵ DE是大圆的弦 ∴ DC=CE

在 中，

在大圆中，根据切割线定理 ∴ 8AE=122 AE=18

∴

∴ 两圆的半径分别为9和

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