平面向量、平面向量的坐标运算

编辑: 逍遥路 关键词: 高中数学 来源: 高中学习网

一、教学内容:平面向量、平面向量的坐标运算

二、本周教学目标:

要求:

1、了解平面向量的基本定理 理解平面向量的坐标的概念,会用坐标形式进行向量的加法、减法、数乘的运算,掌握向量坐标形式的平行的条件;

2、掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件.

3、学会使用分类讨论、函数与方程思想解决有关问题.

三、本周要点:

1、平面向量的坐标表示:一般地,对于向量 ,当其起点移至原点O时,其终点的坐标(x,y)称为向量

在直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量 .

(1)相等的向量坐标相同,坐标相同的向量是相等的向量.

(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关,只与其相对位置有关.

2、平面向量的坐标运算:

(1)若 ,则

(2)若

(3)若 =( x, y)

(4)若 ,则

(5)若 ,则

若 ,则

运算类型

几何

坐标方法

运算性质

1、平行四边形法则

2、三角形法则

三角形法则

是一个向量,

满足:

>0时, 与 <0时, 与 =0时, =

或 =0

时,

,

【典型例题

例1、平面内给定三个向量 ,回答下列问题

(1)求满足 的实数m,n;

(2)若 ,求实数k;

(3)若 满足 ,且 ,求

解:(1)由题意得所以 ,得

(2)

(3)

由题意得

得 或

例2、已知 ;(2)当 与解:(1)因为所以

(2) ,

因为 平行

所以

此时 ,

则 ,即此时向量

例3、已知点 及<6" style= > ,试问:

(1)当 为何值时, 在<9" style='' > 轴上? 在 轴上? 在第三象限?

(2)四边形 若不能,说明理由.

解:(1) ,则若 在 轴上,则 ,所以 ;

若 在 轴上,则 ;

若 在第三象限,则 ,所以

(2)因为若所以 此方程组无解;

故四边形

例4、如图,设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F 经过点F的直线交抛物线于A、B两点,点C在抛物线的准线上,且BC∥x轴,证明直线AC经过原点O.

解法一:设A(x1,y1),B(x2,y2),F( ,0),则C(则∵ 与 共线

即 (*)

而代入(*)式整理得,y1?y2=-p2

因为

∴ 与 是共线向量,即A、O、C三点共线,

也就是说直线AC经过原点O

解法二:设A(x1,y1),C( ,y2),B(x2,y2)

欲证A、O、C共线,只需且仅需 ,即

又∴ 只需且仅需y1y2=-p2,用韦达定理易证明.

点评:两向量共线的应用非常广泛,它可以处理线段(直线)平行,三点共线(多点共线)问题,使用向量的有关知识和运算方法,往往可以避免繁杂的运算,降低计算量,不仅方法新颖,而且简单明了.

例5、已知向量 表示.

(1)证明:对于任意向量 成立;

(2)设 ,求向量 的坐标;

(3)求使 的坐标.

解:(1)设 ,则

,故

∴(2)由已知得 =(0,-1)

(3)设 ,

∴y=p,x=2p-q,即

例6、平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C满足 且

解法一:设

于是

先消去 ,由

再消去 所以选取D.

解法二:由平面向量共线定理,

当 时,A、B、C共线.

因此,点C的轨迹为直线AB,由两点式直线方程得小结:

1、熟练运用向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算法则进行运算.

2、两个向量平行的坐标表示.

3、运用向量的坐标表示,使向量的运算完全代数化,将数与形有机的结合.

【模拟

1、若向量 与向量A、x=1,y=3 B、x=3,y=1 C、x=1,y= -5 D、x=5,y= -1

2、点B的坐标为(1,2), 的坐标为(m,n),则点A的坐标为( )

A、 B、

C、 D、

3、已知向量 与 共线,则 等于( )

A、 D、1

4、已知 反向,则 等于( )

A、(-4,10) B、(4,-10) C、(-1 , ) D、(1, )

5、向量 =(-4,1) 则 = ( )

A、(-2,0) B、(6,-2) C、(-6,2) D、(-2,2)

6、设向量 ,则“ A、充分不必要条件 B、必要不充分条件

C、充要条件 D、不充分不必要条件

7、平行四边形ABCD的三个顶点为A(-2,1)、B(-1,3)、C(3,4),则点D的坐标是( )

A、(2,1) B、(2,2) C、(1,2) D、(2,3)

8、与向量 不平行的向量是

A、 B、 C、 =(2,5), 坐标为 , 坐标为 , =(x1,y1), =(x2,y2),线段AB的中点为C,则 的坐标为 .

12、已知A(-1,-2),B(4,8),C(5,x),如果A,B,C三点共线,则x的值为 .

13、已知向量

【试题答案

1、B 2、A 3、C 4、B 5、C 6、C 7、B 8、C

9、 ; ;

12、



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