一. 教学内容:平面向量 平面向量的数量积
二. 本周教学目标:
要求:
掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件
三. 本周要点:
1. 两个向量的数量积:
已知两个非零向量 ,则 ?颉う蚣v:shape > ?蜚os 与 的数量积(或内积)。规定 。
2. 向量的投影:?蚣v:shape > ?蜚os ∈R,称为向量 在 投影的绝对值称为射影。
3. 数量积的几何意义: 的长度与 在 。
5. 乘法公式成立:
;
6. 平面向量数量积的运算律:
①交换律成立:
③分配律成立:
特别注意:(1)结合律不成立: ;
(2)消去律不成立 不能得到
(3) 不能得到 或 =7. 两个向量的数量积的坐标运算:
已知两个向量 ,则 与 ,作 = = ,则∠AOB= )叫做向量 = = 。
当且仅当两个非零向量 与 反方向时θ=180°,同时 与 的夹角为90°则称 ⊥ 。
10. 两个非零向量垂直的充要条件:
? =0 。
【典型例题
例1. 判断下列各命题正确与否:
(1) ;(2) ;
(3)若 ,则 ,则 时成立;
(5) 向量都成立;
(6)对任意向量 。
解:⑴错; ⑵对; ⑶错; ⑷错; ⑸ 错;⑹对。
例2. 已知 , , ,按下列条件求实数 的值。
(1) ;
解:
∴(1) ;
(2) ;
。
例3. 已知 ),<3" > =( +1, -1),则 与<7" > 的夹角是多少?
与<9" > 的夹角,需先求 |?| |,再结合夹角θ的范围确定其值。
解:由 ), =( -1)
有 +1+ -1)=4,| 与 的夹角为θ,则cosθ=
又∵0≤θ≤π,∴θ=
评述:已知三角形函数值求角时,应注重角的范围的确定。
例4. 如图,以原点和A (5,2)为顶点作等腰直角△ 的坐标。
解:设 点坐标(y),则x, =(y-2)
∵ ∴x-5)+y-2)=0即:y2-5x-2y=0
又∵ ∴y2=(x-5)2+(x+4
∴ 点坐标 ;
例5. 在△ABC中, =(1,k值。
=90°时, =0,∴2×1+3×k=0 ∴
当 =90°时, =0, -k-3)=(-1,k-3)=0 ∴ ×k(k-3)=0 ∴
例6. 已知 +y )⊥ +y |=1。
=(3,4), =(4,3),有x +y )⊥ +y )? +y |=1 |x 。
【模拟
1. 若 2-4A. 23 B. 57 C. 63 D. 83
2. 已知 (-2,5),则△ 为( )
A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 不等边三角形
3. 已知 的单位向量,则 等于( )
A. 或 B. 或C. 或
4. 已知 在 方向上的投影为( )
A.
5. 已知 与 的夹角为钝角,则λ的取值范围是( )
A. λ> C. λ<
6. 给定两个向量 +x )⊥(A. 23 B. C. D.
7. + )?( (3,2), (-1,-1),若点P(x,- )在线段 (1,0), (3,1), = 与 的夹角为_________。
10. 已知 , =(1,2)且 的坐标为 。
11. 已知 = -k ⊥ = 。
12. 已知 与 的夹角为 ,则k的值为 。
13. 已知 =9与x? =-4的向量x。
14. 已知点A (1,2)和B (4,-1),问能否在y轴上找到一点C,使∠ABC=90°,若不能,说明理由;若能,求C点坐标。
15. 四边形ABCD中 =(x,y), ∥ ⊥ )?ゼ/p>
12. -5
13. (2,-3)
14. 不能(理由略)
15. (1)x+2y=0
(2) S四边形ABCD=16。
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