一. 教学内容:等差、等比数列的综合应用
二、教学目标:
综合运用等差、等比数列的定义式、通项公式、性质及前n项求和公式解决相关问题.
三、要点:
(一)等差数列
1. 等差数列的前 项和公式1:
2. 等差数列的前 项和公式2:
3. (m, n, p, q ∈N )
5. 对等差数列前n项和的最值问题有两种:
(1)利用 >0,d<0,前n项和有最大值,可由 ≤0,求得n的值。
当 ≤0,且 二次函数配方法求得最值时n的值。
(二)等比数列
1、等比数列的前n项和公式:
∴当 ① 或 ②
当q=1时, 时,用公式②
2、 是等比数列 不是等比数列
②当q≠-1或k为奇数时, 仍成等比数列
3、等比数列的性质:若m n=p k,则
【典型例题
例1. 在等差数列{ + + + 。
解:由等差中项公式: + , =2 + + =450, + =180
+ + + +
=( + + )+( )+=9 为 项的和。
解:(用错项相消法)
①
①-② 时,
当 时,例3. 设数列 项之和为 ,若 ,问:数列 ,
∴
即: ,∴ ,
∴即:
例4. 设首项为正数的等比数列,它的前 项之和为80,前 项中数值最大的项为54,求此数列。
解:由题意
代入(1), ,从而
∴ 项中数值最大的项应为第 项
∴ ∴
∴
∴此数列为
例5. 求集合M={mm=2n-1,n∈N*,且m<60=的元素个数及这些元素的和。
,又∵n∈N*
∴满足不等式n< = =900
答案:集合M中一共有30个元素,其和为900。
【模拟
1. 已知等比数列的公比是2,且前四项的和为1,那么前八项的和为 ( )
A. 15 B. 17 C. 19 D. 21
2. 已知数列{an=3n-2,在数列{an}中取ak2,akn ,… 成等比数列,若k1=2,k2=6,则k4的值 ( )
A. 86 B. 54 C. 160 D. 256
3. 数列A. 750 B. 610 C. 510 D. 505
4. <0的最小的n值是 ( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
5. 若一个等差数列前3项的和为34,最后3项的和为146,且所有项的和为390,
则这个数列有 ( )
A. 13项 B. 12项 C. 11项 D. 10项
6. 数列 并且 。则数列的第100项为( )
A. C. 7. 在等差数列{ =-15,公差d=3,求数列{ 的元素个数,并求这些元素的和。
9. 设
(1)问数列 是否是等差数列?(2)求 = +3d,∴ -15= +9, =-24,
∴ =-24n+ = [(n- - 最小时, 最小,
即当n=8或n=9时, =-108最小
解法2:由已知解得 =-24,d=3, ≤0得n≤9且 = 得 共有14个即 的集合
∴
又因为
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