分类计数原理与分步计数原理、排列

编辑: 逍遥路 关键词: 高中数学 来源: 高中学习网

一. 教学内容:分类计数原理与分步计数原理、排列

二. 教学重、难点:

1. 分类计数原理,分步计数原理

2.

【典型例题

[例1] 有三个袋子,其中一个袋子装有红色小球20个,每个球上标有1至20中的一个号码,一个袋子装有白色小球15个,每个球上标有1至15中的一个号码,第三个袋子装有黄色小球8个,每个球上标有1至8中的一个号码。

(1)从袋子里任取一个小球,有多少种不同的取法?

(2)从袋子里任取红、白、黄色球各一个,有多少种不同的取法?

解:

(1)任取一个小球的方法可分三类,一类取红球,有20种取法;一类取白球,有15种取法;一类取黄球,有8种取法。由分类计数原理共有20 15 8=43种不同取法。

(2)取三色小球各一个,可分三步完成,先取红球。有20种取法;再取白球,有15种取法;最后取黄球,有8种取法。由分步计数原理,共有 种不同的取法。

[例2] 在所有的两位数中,个位数字比十位数字大的两位数有多少个?

解:分析个位数字,可分以下几类:

个位是9,则十位可以是1,2,3,……,8中的一个,故有8个;

个位是8,则十位可以是1,2,3,……,7中的一个,故有7个;

与上同样。

个位是7的有6个;

个位是6的有5个;

……

个位是2的只有1个。

由分类计数原理知,满足条件的两位数有 (个)

[例3] 如图,小圆圈表示网络的结点,结点之间的连线表示它们有网线相联,连线标注的数字,表示该网线单位时间内可以通过的最大信息量,现从结点A向结点B传递信息,信息可以分开沿不同的路线同时传递,则单位时间内传递的最大信息量为多少?

解:沿12?D5?D3路线传递的信息最大量为3(单位时间内),沿12?D6?D4路线传递信息的最大量为4……由于以上每个线路均能独立完成这件事(传递信息),故单位时间内传递的最大信息量为3 4 6 6=19。

[例4] 用6种不同的颜色对下图中5个区域涂色,每个区域涂一种颜色,相邻的区域不能同色,那么共有多少种不同的涂色方法?

解:分五步进行,第一步给5号域涂色有6种方法

第二步给4号涂有5种方法

第三步给1号涂有5种方法

第四步给2号涂有4种方法

第五步给3号涂有4种方法

根据分步计数原理,共有 值

(1) ;(3) 。

解:(1)由排列数公式,

整理得 或 (舍去) ∴

解得

(3)由排列数公式,得 ∴ ;

(2)

(3)∵

[例7] 由0,1,2,3,4,5共六个数字可组成多少个没有重复数字且能被5整除的六位数?

解:组成的六位数与顺序有关,但首位不能排0,个位必须排0或5,因此分两类:第一类:个位必须排0,此时前五位数由1,2,3,4,5共五个数字组成,这五个数字的每一个排列对应一个六位数,故此时有 个六位数。第二类:个位数排5,此时为完成这件事(构造出六位数)还应分两步,第一步排首位,有4种排法,第二步排中间四位,有 个。

[例8] 用0,1,2,3,4五个数字组成的无重复数字的五位数中,其依次从小到大的排列。

(1)第49个数是多少?(2)23140是第几个数?

解:(1)1、2是首数时各组成 个;2在万位,0、1在千位的共有 个,还有23104比23140小,故23140是第 种方法,然后让剩下的5个人(其中包括甲)站在中间的5个位置,有 种站法。

方法二:因为甲不在两端,分两步排队,首先排甲,有 种方法,第二步让其他6人站在其他6个位置上,有 种方法,第二步让甲插入这6个人之间的空当中,有 种,故共有 种站法。

方法四:在排队时,对7个人,不考虑甲的站法要求任意排列,有 种方法,因此共有 种排法,再考虑其余5个元素的排法有 种。

方法二:甲、乙两人不能站在两端,应包括同时不在两端,某一人在两端,故用排异法,应减去两种情况,同时在两端,有 种不同站法。

(3)分三步:第一步,从甲、乙以外的5个人中任选2人排在甲、乙之间的两个位置上,有 种方法,第三步,对甲、乙进行全排列,故共有 种不同站法。

(4)方法一:男生站在前4个位置上有 种站法,男女生站成一排是分两步完成的,因此这种站法共有 种站法,这两种站法都符合要求,所以四名男生站在一起,三名女生也站在一起的站法共有 种排法,然后排四名男生,有 种排法,根据分步计数原理,将四名男生站在一起,三名女生站在一起的站法有 种排法,在四名男生间的三个间隔共有三个位置安排三名女生,有 种排法符合要求,故四名男生三名女生相间排列的排法共有 种。

(6)在7个位置上任意排列7名学生,有排法 中每一种情况均以 种。

[例10] 某班开设的课程有语文、数学、英语、政治、物理、化学、生物、体育共8门。若星期一上午排4节不同的课,并且规定体育课不能排在第一节及第四节,那么星期一上午该班的课程表有多少种不同的排法?

解:若不排体育课,则有 ,且A中至少有一个奇数,则这样的集合有( )

A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 高中物理 5个

2. 书架上、下两层分别放有5本不同的数学书和4本不同的语文书,从中选两本数学书和一本语文书,则不同的选法有 种( )

A. 9 B. 13 C. 24 D. 40

3. 不等式 B. 或 或

4. 已知 的值为( )

A. 7 B. 2 C. 6 D. 8

5. 2个男生和4个女生排成一排,其中男生既不相邻也不排两端的不同排法有( )

A. 种

C. 种

6. 27位女同学排队照相,第一排8人,第二排9人,第三排10人,则所有不同的排法种数为( )

A.

C.

二. 解答题

1. (1)某教学楼有三个不同的楼梯,4名学生要下楼,共有多少种不同的下楼方法?(2)有4名同学要争夺3个比赛项目的冠军,冠军获得者共有多少种可能?

2. 现有高一年级四个班学生34人,其中一、二、三、四班分别有7人、8人、9人、10人,他们自愿组成数学课外小组。

(1)选其中一人为负责人,有多少种不同的选法?

(2)每班选一名组长,有多少种不同的选法?

(3)推选两人作中心发言,这两人需来自不同的班级,有多少种不同的选法?

3. 解下列各式中的 值。

(1) (2)

【试题答案】

一. 选择题

1. D 2. D 3. C 4. A 5. A 6. C

二. 解答题

1. 解:

(1)4名学生分别下楼,即问题分4步完成。每名学生都有3种不同的下楼方法,根据分步计数原理,不同的下楼方法共有 种。

(2)确定3项冠军人选可逐项完成,即分3步,第1项冠军人选有4种可能,第2项与第3项也均有4种可能,根据分步计数原理:冠军获得者共有 (种)

(2)分四步,易知不同的选法总数

(种)

(3)分六类,每类又分两步,从一、二班学生中各选1人,有 种不同的选法;从一、三班学生中各选1人,有 种不同选法;从一、四班学生中各选1人,有 种不同的选法;从二、三班学生中各选1人,有 种不同的选法,所以共有不同的选法数

∴ (舍)

(2)

∴ (舍)

4. 解:

(1)先排乙有2种方法,再排其余5位同学有 种排法。

(4) 种排法。

(5) 种排法。

(6)7个学生的所有排列中,3名女生交换顺序得到的排列只对应一个符合题意的排队方式,故共有 种排法。



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