1251年，史天泽驻守真定，他兴教育，劝农桑，广纳贤士。在秋高气爽的暮色中，一位59岁的儒士在学子们的簇拥下踏上了真定路栾城县的故土，他就是金元之际最伟大的数学家李冶。

一

李冶家学深厚，博览群书，兼修文学、史学、数学、经学。时人称赞他“经为通儒，文为名家”。

李冶(1192～1279)，字仁卿，号敬斋，元代真定路栾城县（今石家庄市栾城区）人。他出生的年代，正是金朝由盛而衰的历史时期。李冶父亲李?是位博学多才的学者，在大兴府尹胡沙虎手下任推官，母亲姓王。

泰和八年（1208年），蒙古成吉思汗的军队开始向金朝进攻。李?的上司胡沙虎是金朝臭名昭著的大权奸，“声势炎炎，人莫敢仰视”，动辄打骂同僚，甚至“虐杀不辜”。李?常据理力争，置个人生死祸福于度外。但行走于虎狼之室，不得不小心。他为防不测，把妻儿送回故乡栾城。少年李冶，就到栾城邻县元氏封龙书院求学。

至宁元年（1213年）胡沙虎篡权乱政，李?被迫辞职，隐居阳翟（今河南禹县），从此不再过问政事。吟诗作画，颇有名声。父亲的正直为人及好学精神对李冶深有影响。

李冶儿时本名李治，为什么改名李冶？后世有两种解读。一说李冶成年后熟读史书，感慨唐高宗李治助长武则天专权，导致大唐沦为武周，耻与李治同名，故改名李冶。一说金朝曾推崇儒学，禁止平民和古代帝王同名，李冶就把李治减去一点，改名叫李冶。

李冶自幼聪敏，博览群书，兴趣广泛，对文学、史学、数学、经学都很感兴趣。《元朝名臣事略》中说：“公（指李冶）幼读书，手不释卷，性颖悟，有成人之风。”李冶常说：“积财千万，不如薄技在身。”又说：“金璧虽重宝，费用难贮储。学问藏之身，身在则有余。”他年轻时曾与好友元好问一起外出求学，拜文学家赵秉文、杨文献为师。

正大七年（1230年），李冶赴洛阳应试，被录取为词赋科进士，一举成名，时人称赞他“经为通儒，文为名家”。

二

国破家亡的命运，使李冶决绝了仕途，潜心研究学问。

李冶得中进士，本是走向成功的标志，同年踏进仕途，被授予高陵（今陕西高陵）主簿，但此时金王朝已日薄西山，而崛起于草原的蒙古汗国已日渐强大，成吉思汗之子窝阔台即位后，出兵攻入陕西，李冶任职属地被蒙古军队占领，所以，他被调往钧州（今河南禹县）任知事。公元1232年正月,蒙古军绕过军事重镇潼关(今陕西潼关县北),东下汴京(今河南开封)，在三峰山大战，金军大败，不几日，蒙古军攻破钧州城，李冶不愿投降，就换上平民服装，北渡黄河进入山西，这是他一生的重要转折点。仕途的悲凉，国土的沦丧，使得李冶从此走上了流亡之路。

李冶辗转到了山西的忻县、崞县(今山西宁武、原平)之间，过着“饥寒不能自存”的生活。

公元1234年正月，金哀宗完颜守绪传位于完颜承麟后自缢而死。末帝完颜承麟也被乱兵所害，金朝灭亡。

国破家亡的命运，使李冶决绝了仕途，只能潜心研究学问。年过四十岁的李冶经过颠沛流离后，定居崞县桐川。他虽生活艰苦，但有充足的时间研究学问。漫漫人生路，何处是归途？李冶就在各种学问中充实自己，涉及数学、文学、历史、天文、哲学、医学等。李冶不仅有先进的哲学思想，而且在极为艰苦的条件下坚持做学问。他在桐川的居室十分狭小，常常不得温饱，要为衣食奔波。但他却以著书为乐，潜心学问。他的学生焦养直说他“虽饥寒不能自存，亦不恤也”，在“流离顿挫”中“亦未尝一日废其业”，“手不停披，口不绝诵，如是者几五十年”。

同时代的学者砚坚评价李冶，只要目睹世间之书，无不熟读，从不遗漏。

三

数学虽被古人排在六艺之末，但李冶认为，数学是最有用的学问，于是他致力于数学研究。

1248年，李冶写成了中国古代数学名著《测圆海镜》，这是中国古代代数学具有划时代意义的著作，是用“立天元一为某某”（即当代数学设x为某某）解析高次方程的数学专著。后世学者们研究认为，李冶这部代数学著作，比欧洲代数高次方程理论要早300多年，是13世纪世界最先进的代数学理论专著。

金元之际，正是天元术启蒙的时代。天元术是用数学符号列方程的方法。中国列方程的思想可追溯到东汉的《九章算术》。其中第8章《方程》，用文字叙述方法建立二次方程，但没有明确的未知数。唐代王孝通《缉古算术》已能列出三次方程，但完全用几何方法推导方程，难度很大，不易被一般人掌握。

宋代以前的方程理论一直受几何思维束缚，方程次数不高于三次，高于三次方程就难以用几何解析了。宋仁宗时任左班殿直贾宪写成《黄帝九章算经细草》9卷、《算法?古集》2卷，改进了传统开方法，创造了开方作法本源和增乘开方法，对古代数学理论做出了杰出贡献。在欧洲，法国数学家帕斯卡在17世纪初创造了类似的代数学，但是比贾宪晚了600年左右。

李冶治学，不泥古，不唯书，既善于借鉴前人的成就，又勤于思考。有人问学于李冶，李冶回答：“学有三：积之之多不若取之之精，取之之精不若得之之深。”坚持去其糟粕，取其精华，善于发现，勤于思考。

由于李冶摆脱了几何思维的束缚，在方程解析方面取得了突破，他利用天元术熟练地列出六次方程，并完整解决了分式方程问题，用纯代数方法降低方程次数，他还发明了负号和一套相当简明的小数记法。在国外，直到16世纪末，小数才有了更好的记法。由于李冶掌握了一套完整的数字符号及性质符号，他的方程已能用符号表示，改变了用文字描述方程的旧面貌，可称为“半符号代数”。大约300年后，类似的半符号代数才在欧洲产生。

李冶的《测圆海镜》共12卷，收入170多个问题，都是已知直角三角形中各线段、利用天元术求内切圆和旁切圆的直径问题。第一卷开头，李冶列出了一幅“圆城图式”，提出了170个与“圆城图式”有关的问题，根据已知条件，分别计算出15个直角三角形各边之长，绘出各三角形的容圆公式，计算出勾股和、勾股差，然后计算出勾弦和、勾弦差等。其中19题列出三次方程，13题列出四次方程，还有些题列出六次方程，还成功地用代数方法降低方程次数。《测圆海镜》的成书标志着天元术的成熟，李冶也正是因其在天元术方面的贡献，被后人誉为“宋元数学四大家”。

元代数学家朱世杰说：“以天元演之，明源活法，省功数倍。”清代阮元说：“立天元者，自古算家之秘术；而《海镜》者，中土数学之宝书也。”

四

李冶既是一代鸿儒，又有实用数学的杰出成就。他曾在封龙书院讲学，学子纷至沓来，以聆听李冶教诲为乐事。

李冶写成《测圆海镜》后，到太原住了一个时期，藩府的官员曾请他出仕为官，他坚决谢绝了。后来，他到了山西平定，在那里，李冶与一代词人元好问受到当地人的敬仰。平定侯聂?也很尊重李冶和元好问，他经常把他们接到自己府邸做客。时人常常将二人并称“元李”。至元二年(1265年)，平定州创建“四贤堂”，以祭祀金元时期文坛领袖，“四贤”就是指杨云翼、赵秉文、元好问和李冶，可见李冶在当时名声之高、影响之大。

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