一、基本概要:
1.直线与圆锥曲线的位置关系:相交、相切、相离。
从代数的角度看是直线方程和圆锥曲线的方程组成的方程组,无解时必相离 高中数学;有两组解必相交;一组解时,若化为x或y的方程二次项系数非零,判别式?=0时必相切,若二次项系数为零,有一组解仍是相交。
2. 弦:直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦。
焦点弦:若弦过圆锥曲线的焦点叫焦点弦;
通径:若焦点弦垂直于焦点所在的圆锥曲线的对称轴,此时焦点弦也叫通径。
3.①当直线的斜率存在时,弦长公式:
= 或当 存在且不为零时
,(其中( ),( )是交点坐标)。
②抛物线 的焦点弦长公式AB= ,其中α为过焦点的直线的倾斜角。
4.重点难点:直线与圆锥曲线相交、相切条件下某些关系的确立及其一些字母范围的确定。
5.方式: 方程思想、数形结合的思想、设而不求与整体代入的技巧。
6.特别注意:直线与圆锥曲线当只有一个交点时要除去两种情况,些直线才是曲线的切线。一是直线与抛物线的对称轴平行;二是直线与双曲线的渐近线平行。
二、例题:
【例1】直线y=x+3与曲线 ( )
A。没有交点 B。只有一个交点 C。有两个交点 D。有三个交点
〖解〗:当x>0时,双曲线 的渐近线为: ,而直线y=x+3的斜率为1,1<3/2,因此直线与双曲线的下支有一交点,又y=x+3过椭圆 的顶点,k=1>0因此直线与椭圆左半部分有一交点,共计3个交点,选D
[思维点拔]注意先确定曲线再判断。
【例2】已知直线 交椭圆 于A、B两点,若 为 的倾斜角,且 的长不小于短轴的长,求 的取值范围。
解:将 的方程与椭圆方程联立,消去 ,得
由 ,
的取值范围是
[思维点拔]对于弦长公式一定要能熟练掌握、灵活运用民。本题由于 的方程由 给出,所以可以认定 ,否则涉及弦长计算时,还要讨论 时的情况。
【例3】已知抛物线 与直线 相交于A、B两点
(1) 求证:
(2) 当 的面积等于 时,求 的值。
(1) 证明:图见教材P127页,由方程组 消去 后,整理得 。设 ,由韦达定理得 在抛物线 上,
(2) 解:设直线与 轴交于N,又显然 令
[思维点拔]本题考查了两直线垂直的充要条件,三角形的面积公式,函数与方程的思想,以及分析问题、解决问题的。
【例4】在抛物线y2=4x上恒有两点关于直线y=kx+3对称,求k的取值范围。
〖解〗设B、C关于直线y=kx+3对称,直线BC方程为x=-ky+m代入y2=4x得:
y2+4ky-4m=0, 设B(x1,y1)、C(x2,y2),BC中点M(x0,y0),则
y0=(y1+y2)/2=-2k。x0=2k2+m,
∵点M(x0,y0)在直线上。∴-2k(2k2+m)+3,∴m=- 又BC与抛物线交于不同两点,∴?=16k2+16m>0把m代入化简得 即 ,
解得-1
[思维点拔]对称问题要充分利用对称的性质特点。
【例5】已知椭圆的一个焦点F1(0,-2 ),对应的准线方程为y=- ,且离心率e满足:2/3,e,4/3成等比数列。
(1) 求椭圆方程;
(2) 是否存在直线 ,使 与椭圆交于不同的两点M、N,且线段MN恰被直线x=- 平分。若存在,求 的倾斜角的范围;若不存在,请说明理由。
〖解〗依题意e=
(1)∵ -c= -2 = ,又e= ∴ =3,c=2 ,b=1,又F1(0,-2 ),对应的准线方程为y=- 。∴椭圆中心在原点,所求方程为:
=1
(2)假设存在直线 ,依题意 交椭圆所得弦MN被x=- 平分,∴直线 的斜率存在。设直线 : 由
=1消去y,整理得
=0
∵直线 与椭圆交于不同的两点M、N∴?=4k2m2-4(k2+9)(m2-9)>0
即m2-k2-9<0 ①
设M (x1,y1)、N(x2,y2)
∴ ,∴ ②
把②代入①可解得:
∴直线 倾斜角
[思维点拔] 倾斜角的范围,实际上是求斜率的范围。
三、小结:
1、 解决直线与圆锥曲线的位置关系问题时,对消元后的一元二次方程,必须讨论二次项的系数和判别式,有时借助于图形的几何性质更为方便。
2、 涉及弦的中点问题,除利用韦达定理外,也可以运用点差法,但必须是有交点为前提,否则不宜用此法。
3、求圆锥曲线的弦长,可利用弦长公式
= 或当 存在且不为零时
,(其中( ),( )是交点坐标。
再结合韦达定理解决,焦点弦长也可利用焦半径公式处理,可以使运算简化。
四、作业布置:教材P127闯关训练。
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