重难点:建立并掌握双曲线的标准方程,能根据已知条件求双曲线的标准方程;掌握双曲线的简单几何性质,能运用双曲线的几何性质处理一些简单的实际问题.
经典例题:已知不论b取何实数,直线y=kx+b与双曲线总有公共点,试求实数k的取值范围.
当堂练习:
1.到两定点、的距离之差的绝对值等于6的点的轨迹 ( )
A.椭圆 B.线段 C.双曲线 D.两条射线
2.方程表示双曲线,则的取值范围是 ( )
A. B. C. D.或
3. 双曲线的焦距是 ( )
A.4 B. C.8 D.与有关
4.已知m,n为两个不相等的非零实数,则方程mx-y+n=0与nx2+my2=mn所表示的曲线可能是 ( )
A B C D
5. 双曲线的两条准线将实轴三等分,则它的离心率为 ( )
A. B.3 C. D.
6.焦点为,且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是 ( )
A. B. C. D.
7.若,双曲线与双曲线有 ( )
A.相同的虚轴 B.相同的实轴 C.相同的渐近线 D. 相同的焦点
8.过双曲线左焦点F1的弦AB长为6,则(F2为右焦点)的周长是( )
A.28 B.22 C.14 D.12
9.已知双曲线方程为,过P(1,0)的直线L与双曲线只有一个公共点,则L的条数共有 高考 ( )
A.4条 B.3条 C.2条 D.1条
10.给出下列曲线:①4x+2y-1=0; ②x2+y2=3; ③ ④,其中与直线
y=-2x-3有交点的所有曲线是 ( )
A.①③ B.②④ C.①②③ D.②③④
11.双曲线的右焦点到右准线的距离为__________________________.
12.与椭圆有相同的焦点,且两准线间的距离为的双曲线方程为____________.
13.直线与双曲线相交于两点,则=__________________.
14.过点且被点M平分的双曲线的弦所在直线方程为 .
15.求一条渐近线方程是,一个焦点是的双曲线标准方程,并求此双曲线的离心率.
16.双曲线的两个焦点分别为,为双曲线上任意一点,求证:成等比数列(为坐标原点).
17.已知动点P与双曲线x2-y2=1的两个焦点F1,F2的距离之和为定值,且cos∠F1PF2的最小值为-.
(1)求动点P的轨迹方程;
(2)设M(0,-1),若斜率为k(k≠0)的直线l与P点的轨迹交于不同的两点A、B,若要使|MA|=|MB|,试求k的取值范围.
18.某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告:正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响,正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上).
参考答案:
经典例题:[解析]:联立方程组消去y得(2k2-1)x2+4kbx+(2b2+1)=0,
当若b=0,则k;若,不合题意.
当依题意有△=(4kb)2-4(2k2-1)(2b2+1)>0,对所有实数b恒成立,∴2k2<1,得.
当堂练习:
1.D; 2.D; 3.C; 4.C; 5.B; 6.B; 7.D; 8.A; 9.B; 10.D; 11. ; 12. ; 13. ;14. ;
15.[解析]:设双曲线方程为:,∵双曲线有一个焦点为(4,0),
双曲线方程化为:,
∴双曲线方程为: ∴.
16.[解析]:易知,准线方程:,设,
则,,,
成等比数列.
17. [解析]:(1)∵x2-y2=1,∴c=.设|PF1|+|PF2|=2a(常数a>0),2a>2c=2,∴a>
由余弦定理有cos∠F1PF2===-1
∵|PF1||PF2|≤()2=a2,∴当且仅当|PF1|=|PF2|时,|PF1||PF2|取得最大值a2.
此时cos∠F1PF2取得最小值-1,由题意-1=-,解得a2=3,
∴P点的轨迹方程为+y2=1.
(2)设l:y=kx+m(k≠0),则由, 将②代入①得:(1+3k2)x2+6kmx+3(m2-1)=0 (*)
设A(x1,y1),B(x2,y2),则AB中点Q(x0,y0)的坐标满足:x0=
即Q(-) ∵|MA|=|MB|,∴M在AB的中垂线上,
∴klkAB=k?=-1 ,解得m= …③ 又由于(*)式有两个实数根,知△>0,
即 (6km)2-4(1+3k2)[3(m2-1)]=12(1+3k2-m2)>0 ④ ,将③代入④得
12[1+3k2-()2]>0,解得-1<k<1,由k≠0,∴k的取值范围是k∈(-1,0)∪(0,1).
18.[解析]:以接报中心为原点O,正东、正北方向为x轴、y轴正向,建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点,则A(-1020,0),B(1020,0),C(0,1020)
设P(x,y)为巨响为生点,由A、C同时听到巨响声,得|PA|=|PB|,故P在AC的垂直平分线PO上,PO的方程为y=-x,因B点比A点晚4s听到爆炸声,故|PB|- |PA|=340×4=1360
由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线上, 依题意得a=680, c=1020,
用y=-x代入上式,得,∵|PB|>|PA|,
,答:巨响发生在接报中心的西偏北45°距中心处.
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