一. 教学内容：异面直线所成角及距离

二. 重点、难点：

1. 异面直线所成角定义。

异面直线 、 ，过空间一点O作 ，直线 ， 所成的锐角（或直角）叫做异面直线 和2. 异面直线所成角的计算。

（1）平移其中一条或两条使其相交。

（2）连接端点，使角在一个三角形中。

（3）计算三条边长，用余弦定理计算余弦值。

（4）若余弦值为负，则取其相反数。

3. 公垂线。

与两条异面直线均垂直、相交的直线叫两条异面直线的公垂线，两条异面直线的公垂线有且只有一条。

4. 两条直线垂直。

（1）相交垂直 （2）异面垂直

5.

6. 两条异面直线的公垂线段的长度，叫两条异面直线的距离。

【典型例题】

异面直线所成的角与距离：

[例1] 正方体 ，对角线 。

① 异面直线 所成的角。

② 异面直线 的距离。

③ 异面直线 所成的角。

④ 异面直线 所成的角。

⑤ M、N为 所成角。

解：

① 与

③

④ 延长DC至E使CE=CD 中， ， ，AD=

∴ AE

⑤ MN//BD ∴ 所成角为 中， ，

∴

[例2] 四面体ABCD，棱长均为 （正四面体）

① 求异面直线AD、BC的距离。

② 求AC、BD所成的角。

③ E、F为BC、AD中点，求AE、CF所成角。

解：

① E、F为BC、AD中点，连AE、DE、BF、CF

F为等腰

② H为CD中点

EH//BD EH= FH//AC 为两条异面直线AC、BD所成角

∴

∴ 中，E、F为AB、 、

证：H在 上，

∴ HF与 、 中， 、

[例4] P为 （

解：F为PC中点连EF

EF为PC、BE公垂线

∴ BE、PC距离为

【模拟】（答题时间：60分钟）

1. 、 、 均垂直，则 、2. 已知异面直线 、 成 角，P为空间一点，则过P且与 、 所成角均为 的直线有（ ）

A. 2条 B. 3条 高中生物 C. 4条 D. 无数条

3. 空间直线 满足（1）与 异面；（2）与 成 角；（3）与 距离为1；则这样的4. 、 为 、 ， 与 、5. 空间四边形ABCD棱长为 ，对角线也为 ，E为AD中点，AB与CE所成角为（ ）

A. C.

【试题答案】

1. D 2. B 3. D 4. D 5. C

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