高中数学知识点:弦切角的性质

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弦切角的定义:


顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角叫做弦切角。(弦切角就是切线与弦所夹的角)

如图所示,直线PT切圆O于点C,BC、AC为圆O的弦,∠TCB、∠TCA、∠PCA、∠PCB都为弦切角。



弦切角定理:


弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角;
弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半。


弦切角定理证明:


设圆心为O,连接OC,OB,
∵∠TCB=90°-∠OCB∵∠BOC=180°-2∠OCB∴,∠BOC=2∠TCB(定理:弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半)
∵∠BOC=2∠CAB(同一弧所对的圆心角等于圆周角的两倍)
∴∠TCB=∠CAB(定理:弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角)|


弦切角推论


若两弦切角所夹的弧相等,则这两个弦切角也相等.



弦切角定理的应用:


弦切角定理以及等弧对等角常用来证明角相等,由相似三角形常解决比例线段问题。



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