第二章《数列》测试题(二)

编辑: 逍遥路 关键词: 高中数学 来源: 高中学习网

三、解答题

12.(2009浙江文)设为数列的前项和,,,其中是常数.

⑴求及;

⑵若对于任意的,,,成等比数列,求的值.

考查目的:考查数列的通项与前项和以及它们之间的关系,考查等比数列的概念以及运算求解能力.

答案:⑴,;⑵或.

解析:⑴当时,;当时,.而也适合上式,所以.

⑵∵,,成等比数列,∴,即,化简并整理得. ∵此式对成立,∴或.

 

 

13.(2010全国卷Ⅱ文)已知是各项均为正数的等比数列,且,.

⑴求的通项公式;

⑵设,求数列的前项和.

考查目的:考查等比数列的通项公式与前项和公式、方程与方程组等基础知识,考查运算求解能力.

答案:⑴.⑵.

解析:⑴设的公比为,则.由已知,有 ,

化简得,解得,(舍去),所以.

⑵由⑴知,所以 .

 

 

14.(2008湖南理)数列满足

⑴求,,并求数列的通项公式;

⑵设,,证明:当时,.

考查目的:考查数列递推公式的运用、等差数列、等比数列的概念和通项公式、三角函数等基础知识,考查数列求和、不等式证明的基本方法,以及分析问题解决问题的能力.

答案:⑴,,;⑵略.

解析:⑴∵,,∴,.

一般地,当时,,即,所以数列是首项为1、公差为1的等差数列,因此.

当时,,所以数列是首项为2、公比为2的等比数列,因此.

∴数列的通项公式为.

⑵由⑴知,,①,②,得,,∴.

要证明当时,成立,只需证明当时,成立.

证明:要证明,只需证明.令,则

,∴当时,.

∴当时,.于是当时,.

 

 

15.(2012广东理)设数列的前项和为 高考,满足,且,,成等差数列.

⑴求的值;

⑵求数列的通项公式;

⑶证明:对一切正整数,有.

考查目的:考查数列和不等式的概念及其性质、数列与函数的关系等基础知识,考查数列递推公式的运用、不等式放缩等基本方法,考查综合运用知识分析问题的能力、推理论证能力和运算求解能力.

答案:⑴;⑵;⑶略.

解析:⑴在中,令得;令得,解得,.又∵,∴解得.

⑵由,得.又∵也满足,∴成立,∴,∴,∴. 

⑶(法一)∵,∴,

∴.

(法二)∵,∴,当时,,,,…,,累乘得,

∴.


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