三、解答题
12.(2009浙江文)设为数列的前项和,,,其中是常数.
⑴求及;
⑵若对于任意的,,,成等比数列,求的值.
考查目的:考查数列的通项与前项和以及它们之间的关系,考查等比数列的概念以及运算求解能力.
答案:⑴,;⑵或.
解析:⑴当时,;当时,.而也适合上式,所以.
⑵∵,,成等比数列,∴,即,化简并整理得. ∵此式对成立,∴或.
13.(2010全国卷Ⅱ文)已知是各项均为正数的等比数列,且,.
⑴求的通项公式;
⑵设,求数列的前项和.
考查目的:考查等比数列的通项公式与前项和公式、方程与方程组等基础知识,考查运算求解能力.
答案:⑴.⑵.
解析:⑴设的公比为,则.由已知,有 ,
化简得,解得,(舍去),所以.
⑵由⑴知,所以 .
14.(2008湖南理)数列满足
⑴求,,并求数列的通项公式;
⑵设,,证明:当时,.
考查目的:考查数列递推公式的运用、等差数列、等比数列的概念和通项公式、三角函数等基础知识,考查数列求和、不等式证明的基本方法,以及分析问题解决问题的能力.
答案:⑴,,;⑵略.
解析:⑴∵,,∴,.
一般地,当时,,即,所以数列是首项为1、公差为1的等差数列,因此.
当时,,所以数列是首项为2、公比为2的等比数列,因此.
∴数列的通项公式为.
⑵由⑴知,,①,②,得,,∴.
要证明当时,成立,只需证明当时,成立.
证明:要证明,只需证明.令,则
,∴当时,.
∴当时,.于是当时,.
15.(2012广东理)设数列的前项和为 高考,满足,且,,成等差数列.
⑴求的值;
⑵求数列的通项公式;
⑶证明:对一切正整数,有.
考查目的:考查数列和不等式的概念及其性质、数列与函数的关系等基础知识,考查数列递推公式的运用、不等式放缩等基本方法,考查综合运用知识分析问题的能力、推理论证能力和运算求解能力.
答案:⑴;⑵;⑶略.
解析:⑴在中,令得;令得,解得,.又∵,∴解得.
⑵由,得.又∵也满足,∴成立,∴,∴,∴.
⑶(法一)∵,∴,
∴.
(法二)∵,∴,当时,,,,…,,累乘得,
∴.
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