习题课是初中数学教学的一种重要形式,学生通过习题课对已学知识进行再认识,并进一步从数学思想方法的高度认识知识的本质和内在的联系,从而使所学的知识融会贯通,运用自如.
所谓变式教学是利用变式方式进行教学,一般有概念性变式和过程性变式.概念性变式方式是利用概念变式和非概念变式揭示数学概念的本质属性和非本质属性,使学生获得对数学概念的多角度理解;过程性变式方式是通过变式展示知识的发生、发展、形成的过程,使学生抓住问题的本质,加深对问题的理解,变套式为新式,变模仿为创新.因此变式教学是对学生进行数学技能和思维训练的重要方式,通过对问题的变式探索,达到培养学生的创新意识、改善学生的思维品质.下面试谈本人对初中数学习题课变式教学的几点认识.
1.利用变式设问,培养学生准确概括的思维能力
学习数学概念,贵在抓住概念的本质属性.习题课时可以回顾概念形成的过程,通过变式设问来加深对概念的理解,使学生思维由浅入深,有利于培养学生准确概括的思维能力.
例如复习“中点四边形”时,针对学生概念模糊预先设计如下“问题链”:
(1)顺次连结任意四边形各边中点所得四边形是什么图形?
(2)如果把“顺次连结任意四边形各边中点所得四边形”定义为这个四边形的“中点四边形”,试分别说出平形四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形的中点四边形是什么图形.
(3)分别说出对角线互相垂直、对角线相等的四边形的中点四边形是什么图形.学生比较容易得到上述问题的结论,然后引导学生进行逆向提问:
(4)如果中点四边形分别是矩形、菱形、正方形,那么原四边形的对角线有什么特征?通过上述概念性变式,学生获得了多角度的理解.在弄清“中点四边形”概念内涵和外延的基础上,真正掌握了概念的本质属性,提高了综合概括的能力,培养了思维的准确性.
2.利用变位思考,培养学生灵活和发散的思维方式
一道数学题,如果从不同角度去审视问题可得到多种不同的解题思路.通过逆向思考、类比联想、数形结合、变用公式等方式,一题多解,拓宽解题思路,学生不但能深化对知识的理解,而且有利于改善自身的思维品质,如思维的灵活性和发散性,拓展思维的广度,克服思维定势.
在δabc中,cd是斜边ab上的高.求证:cd2=ad?bd.在解题过程中,鼓励学生综合运用已有认知基础,从不同的切入口思考,形成不同的思路.学生很快会用相似三角形法、面积法、三角法去解决,有的还用代数法去解决.本题运用不同的解题过程作为变式,使学生认识到,头脑中的认知结构中,有许多有关这问题的“结点”,从这种结点出发可能形成不同的思路,从而有效地通过多种渠道来解决同一个问题,把所学知识、经验有机组合,形成网络.利用正误辨析,使学生逐步形成严谨的思维习惯由于对数学概念的本质认识不清,对问题理解欠透彻、欠全面,学生在解决问题时出现差错.在习题课中,运用正误辨析方式,设置合理的“陷阱”,使学生发现错误,产生“质疑”,在纠正错误的过程中透过表面现象,抓住问题本质,多角度、多层次地研究、解决问题,从而激发学生学习兴趣,增强学生的求知欲望,使学生逐步形成严谨的思维习惯.
例2 已知关于x的方程kx2+ (2k-1)x+k- 2 = 0.
(1)若方程有实根,求k的取值范围;
(2)若此方程两实根为x1,x2,且x21+x22= 3.求k的值.学生这样解:
(1)直接由δ≥0,得k≥-14.
(2)由x21+x22= (x1+x2)2- 2x1x2=3,代入根与系数关系后,求得k=±1.教师设问:上述解答有无错误?若有,指出错误之处,并写出正确答案.在这道题的教学过程中,应让学生领悟到,“方程”与“一元二次方程”、“一元一次方程”的概念之间的联系与差异;当“此方程两实根为x1,x2”时,其中的“k”应该蕴含怎样的条件.经过这种“领悟”、“注意”,学生自然形成严谨的思维习惯.
习题课教学中进行概念性变式教学,设置错题错解,创设认知冲突,可以帮助学生建立相关概念之间的联系,从而促进学生对数学知识和规律的理解,增强防止错误的免疫力,培养学生思维的批判性.
3 .利用命题变换,培养学生思维的深刻性和创造性
数学题浩似烟海,一题多变,变化无穷.从一题多变中深入思考,抓住问题的核心,揭示问题的根本原因及其结果,掌握问题的发展规律,使数学思维得到训练和发展,即思维的拓展和迁移.“不变中有变,变中有不变”,形成一种更高层次的思维方法,达到对问题的本质理解.利用命题变换教学,对培养学生思维的深刻性和创造性具有极为有利的作用.
在正方形abcd中,e、f、g、h分别是正方形的边ad、bc、ab、dc上的点,ef⊥gh,那么ef与gh的长度之间有什么关系?试加以证明.学生比较容易想到,过e、g分别作em∥ab,gn∥bc,构造出△efm≌△ghn,从而获得结论ef=gh.变式:如果将正方形abcd改为矩形abcd,其它条件不变(如图3),设ab=m,ad=n,那么ef与gh的长度之间有什么关系?试加以证明.
此题只是已知条件中矩形与正方形之别,通过有层次的过程性变式,学生积累了一定的经验,从而探索出ef∶gh=m∶n.本题还可尝试其它变式.在上述问题解决过程中,让学生领悟到数学的化归思想.并通过变式教学,使学生逐渐认识到化归思想是解决变式问题的主要思想方法之一.从而培养学生思维的深刻性和创造性.
学生的思维习惯部分是由教师在教学中长期、持久地逐渐培养的.在习题课教学中,运用变式教学方法,使学生能主动参与学习、敢于质疑、勇于探索创新,从而真正领悟数学的思想方法,改善思维品质,更大程度地发挥和提高智能与潜能.
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