数学归纳法的应用

编辑: 路逍遥 关键词: 学习方法指导 来源: 逍遥右脑记忆


数学归纳法的应用

:数学归纳法的应用 数学归纳法是证明与自然数有关的命题的一种方法,应用广泛.在最近几年的高考试卷中体现的特别明显,以下通过几道高考试题来谈一谈数学归纳法的应用。
  一、用数学归纳法证明整除问题
  用数学归纳法证明整除问题时,由到时,首先要从要证的式子中拼凑出假设成立的式子,然后证明剩余的式子也能被某式(数)整除,这是数学归纳法证明问题的一大技巧。
  例1、是否存在正整数m,使得f(n)=(2n+7)•3n+9对任意自然数n都能被m整除?若存在,求出最大的m值,并证明你的结论;若不存在,请说明理由.
  证明:解:由f(n)=(2n+7)•3n+9,得f(1)=36, f(2)=3×36, f(3)=10×36, f(4)=34×36,由此猜想m=36.
  下面用数学归纳法证明:
  (1)当n=1时,显然成立.
  (2)假设n=k时, f(k)能被36整除,即f(k)=(2k+7)•3k+9能被36整除;当n=k+1时,[2(k+1)+7]•3k+1+9=3[(2k+7)•3k+9]+18(3k--1-1),
  由于3k-1-1是2的倍数,故18(3k-1-1)能被36整除.这就是说,当n=k+1时,f(n)也能被36整除.
  由(1)(2)可知对一切正整数n都有f(n)=(2n+7)•3n+9能被36整除,m的最大值为36.
  二、用数学归纳法证明恒等式问题
  对于证明恒等的问题,在由证等式也成立时,应及时把结论和推导过程对比,也就是我们通常所说的两边凑的方法,以减小计算的复杂程度,从而发现所要证明的式子,使问题的证明有目的性.




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