但是,本题若采用逆转程序的策略,其解答则显而易见。解我们从相反的方向来考察,即怎样将一个12环首尾相接的圈打开尽量少的环,使其分成环数相等的四部分?(图略)我们只须打开标有“×”的三个环即可,由于“合”与“分”是对立的统一,一种“分”的方式即可产生一种“合”的方法。这样,可知原题应打开某段链条的全部三个环,此时,打开三环得6分,而且该三环将其它三段链条接起来得9分,共得6+9=15分,符合题目要求。又例:由8个相同的小立方体构成一个2×2×2的大立方体。
今沿小立方体的表面将大立方体分成大小、形状完全相同的两个几何体,问有多少不同的分法?解本题是一个有趣的组合问题,如果将思维限制在考察怎样从大立方体中分割出两个全等的几何体则是难以考虑全面的:表面似乎只有一种分法,即将其分为两个1×2×2的长方体。除此之外,再不知如何下手。现在,我们从相反的方向来考虑:哪些全等的两个几何体(由4个小立方体构成)可以“合”成一个大立方体?即从部分“合成”整体这一方向来考察事物的可能性。由于“部分”的形状比较容易分析,从而问题的解也就趋于明朗。考察由4个小立方体合在一起构成的图形的所有可能形状,其中注意它们的最大棱长不超过2。首先,由两个正方体拼起来只有一种方式,再加上一个正方体,虽有两种情形,但其中一种含有大于2的棱长,从而也只有一种可能。再在三个小正方体上添加一个小正方体这只有4种允许的本质上不同的拼合方式(本质上不同是指经过刚体运动后它们不能重合)。意外的是,这四种情形中的任何一种,其两个完全相同的几何体都能拼成2×2×2的立方体,故我们的答数为4。
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