用导数法求函数的极值,是求极值基本方法,在解决这类问题时,如果对法则、定理一知半解或理解不透,很容易造成极值点的遗漏。可导函数在某一点处取得极值的必要条件是这一点的导数。因此求可导函数的极值可以按照下列步骤进行:
①先求函数的导数;
②令求得根;
③在附近左右两侧判断的符号,左正右负为极大值点,左负右正为极小值点。
例1 求函数的极值。
解
令,得,。
列表:
所以
例2 已知,当时,取得极大值7,当时,取得极小值,求极小值及此时、的值。
解 因为
所以
由题意得
即
解得
所以
此时
值得注意的是上述求函数的极值的前提是函数是可导函数,即函数的导数存在的情况下给出的。但是在不存在处,函数有时也有极值,同学们很容易将这样的极值遗漏。
例3 求函数的极值。
解 当时,;
当时,;
当时,的导数不存在。
显然时,取得极小值0。
例4 求函数的极值。
解 因为,显然当时,不存在,但当时,存在。
列表:
由表中可以看出,当时,有极小值且。
因此,在求函数的极值时,除了要对方程的各个根进行逐个检验,同时还必须对那些使得导数不存在的点一一加以检验,这样才不致于把极值点遗漏。
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