由一道中考试题引发的思考

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由一道中考试题引发的思考 来源:网络收集作者:佚名

直线,连结,直线及线段把平面分成①、②、③、④四个部分,规定:线上各点不属于任何部分.当动点落在某个部分时,连结,构成,三个角.(提示:有公共端点的两条重合的射线所组成的角是角.)

(1)当动点落在第①部分时,求证:;

(2)当动点落在第②部分时,是否成立(直接回答成立或不成立)?

(3)当动点在第③部分时,全面探究,,之间的关系,并写出动点的具体位置和相应的结论.选择其中一种结论加以证明.

分析:

这是一道开放型试题,这类试题已成为各地中考的必考试题。开放题的特征很多,如条件的不确定性,它是开放题的前提;结构的多样性,它是开放题的目标;思维的多向性,它是开放题的实质;解答的层次性,它是开放题的表象;过程的探究性,它是开放题的途径;知识的综合性,它是开放题的深化;情景的模拟性,它是开放题的实践;内涵的发展性,它是开放题的认识。过程开放或结论开放的问题能形成考生积极探究问题情景,鼓励学生多角度、多侧面、多层次地思考问题,有助于充分调动学生的潜在能力。本题的第一问结论确定,但是P点的具体位置不确定,需要学生大胆假设确定其位置,可以得到多种证明方法;第二问,实际就转化为了前面提到的教材的原型,而要求直接作答难度相对较小,显然不成立;第三问,开放性比较强,需要对结论进行探索,并且需要分类讨论。

解:(1)解法一:如图9-1,延长BP交直线AC于点E

∵ AC∥BD , ∴ ∠PEA = ∠PBD .

∵ ∠APB = ∠PAE + ∠PEA ,

∴ ∠APB = ∠PAC + ∠PBD .

解法二:如图9-2,过点P作FP∥AC ,

∴ ∠PAC = ∠APF .

∵ AC∥BD , ∴FP∥BD .

∴ ∠FPB =∠PBD .

∴ ∠APB =∠APF +∠FPB =∠PAC + ∠PBD .

解法三:如图9-3,

∵ AC∥BD , ∴ ∠CAB +∠ABD = 180°

即 ∠PAC +∠PAB +∠PBA +∠PBD = 180°.

又∠APB +∠PBA +∠PAB = 180°,

∴ ∠APB =∠PAC +∠PBD .

(2)不成立.

(3)(a)当动点P在射线BA的右侧时,结论是

∠PBD=∠PAC+∠APB .

(b)当动点P在射线BA上,

结论是∠PBD =∠PAC +∠APB .

或∠PAC =∠PBD +∠APB 或 ∠APB = 0°,

∠PAC =∠PBD(任写一个即可).

(c) 当动点P在射线BA的左侧时,

结论是∠PAC =∠APB +∠PBD .

选择(a) 证明:

如图9-4,连接PA,连接PB交AC于M

∵ AC∥BD ,

∴ ∠PMC =∠PBD .

又∵∠PMC =∠PAM +∠APM ,

∴ ∠PBD =∠PAC +∠APB .

选择(b) 证明:如图9-5 ,

∵ 点P在射线BA上,∴∠APB = 0°.

∵ AC∥BD , ∴∠PBD =∠PAC .

∴ ∠PBD =∠PAC +∠APB

或∠PAC =∠PBD+∠APB

或∠APB = 0°,∠PAC =∠PBD.

选择(c) 证明:

如图9-6,连接PA,连接PB交AC于F

∵ AC∥BD , ∴∠PFA =∠PBD .

∵ ∠PAC =∠APF +∠PFA ,

∴ ∠PAC =∠APB +∠PBD .

温馨提示:所谓的开放型试题是指那些条件不完整,结论不确定的数学问题,常见的类型有条件观察、比较、分析、综合、抽象、概括和必要的逻辑思想去得出结论,对激发学习兴趣、培养想像、扩散、概括、隐喻等水平思维能力的探索创新能力十分有利,是今后中考的必考的题型。开放型试题重在开发思维,促进创新,提高数学素养,所以是近几年中考试题的热点考题。观察、实验、猜想、论证是科学思维方法,是新课标思维能力新添的内容,学习中应重视并应用。而要想做好此类试题我认为应从教材入手,教材中的习题和例题都有一定的探索性,我们只有立足教材充分发挥习题的作用,反复推敲,对习题进行一题多解和一题多变的变式训练,引导学生利用已有的知识与经验,主动探索知识发生和发展的过程,增强学生的应变能力,有利于巩固基础知识,发展创新思维,提高数学素养。




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