天津市第四十二中学 张鼎言
假设ak>α,由上面的递推式,用比较法:
ak+1-α=--α
=-
=-
而α是方程x2+x-1=0的根,
∴ak+1-α=->0
∴ak+1>α
由上数学归纳法可证an>α
分析(3)由(2)an>α,又an>α>β
∴an>β
bn=ln-有意义,同理an-β=-(n≥2)
bn=ln-
=2ln-=2bn-1
b1=ln-=2ln-
=2ln-
=4ln-
Sn=-
=b1g(2n-1)
=(2n+2-4)gln-
注:本题的关键是第(2)问,通过an+1-α,不等式比较法,建立了递推关系。
7. 数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=-,Sn=n2an-n(n-1),n=1,2,…
(Ⅰ)写出Sn与Sn-1的递推关系式(n2),并求Sn关于n的表达式;
(Ⅱ)设fn(x)=-xn+1,bn=fn1(p)(p∈R),求数列{bn}的前n项和Tn。
解(Ⅰ)由已知Sn=n2(Sn-Sn-1)-n(n-1),(n2)。
(n2-1)Sn=n2Sn-1+n(n-1)
两边同除以n(n-1),
-Sn=-Sn-1+1
设cn=-Sn,
cn=cn-1+1,
由S1=a1=-,c1=1
∴cn=1+(n-1)=n
Sn=-
(Ⅱ)fn(x)=-xn+1=-xn+1,f'n(x)=nxn
bn=npn
设Tn=b1+b2+…+bn=p+2p2+3p3+…+npn (1)
当p=0时,Tn=0
p=1时,
Tn=1+2+…+n=-n(n+1)
pTn=p2+2p3+…+npn+1 (2)
(1)-(2) Tn-PTn=p+p2+…+pn-npn+1
∴Tn=---,(p≠0, p≠1)
注:在递推关系中,设cn是关键,从Sn-1→Sn与-→-是同样的递推。在递推中着眼点是关于n的结构上的一致性。
8. 设数列{an}的前n项和为Sn,且方程x2-anx-an=0有一根为Sn-1,n=1,2,3,…
(Ⅰ)求a1,a2;
(Ⅱ)求{an}的通项公式
(Ⅰ)n=1,a1=S1,(a1-1)2-a1(a1-1)-a1=0,a1=-;
n=2,S2=a1+a2=-+a2,
S2-1=a2--,
代入(a2--)2-a2(a2--)-a2=0,a2=-,S2=-+-=-;
(Ⅱ)(Sn-1)2-an(Sn-1)-an=0,(Sn-1)(Sn-an-1)-an=0,
(Sn-1)(Sn-1-1)-(Sn-Sn-1)=0,Sn?Sn-1-2Sn+1=0
以上是把an转化成Sn,理由是把Sn转换成an走不通,实际上求出Sn,an也可求出。
由S1=-,S2=-,进一步可求出S3=-,猜想Sn=-,用数字归纳法n=2时命题成立,假定Sk=-,
由关于Sn的递推式,
Sk+1=-=-=-,
∴Sn=-,an=-
注:由递推公式求通项,从特殊到一般,先求出n=1,2,3,…归纳假设提出猜想,再去证明猜想。
9. 已知函数f(x)=x-sinx,数列{an}满足:0
证明(Ⅰ)0
(Ⅱ)an+1<-an3
证明(Ⅰ)由已知an+1=f(an),是以函数形式给出的递推关系,-,
先用数学归纳法证明:0
n=1由已知0
考虑函数f(x)=x-sinx,f'(x)=1-cosx,
∵0
∴f'(x)>0,f(x)↑
f(x)在[0,1]上连续
∴f(0)
∴0
又∵an+1=f(an)=an-sinan,00,
∴an-an+1=sinan>0
∴0
(Ⅱ)要证an+1<-an3,需证-an3-an+1>0,构造函数g(x)=-x3-x+sinx(0
g'(x)=-x2-1+cosx
=-x2-2sin2-
=2[(-)2-(sin-)2]
当0<-<-时,用单位圆易证->sin->0
∴g'(x)>0,g(x)↑0
∴g(an)>g(0),-an3-an+sinan>0
-an3>an-sinan=an-1
注:本题是以函数形式确定递推关系,把递推式中项与项的大小关系转化为函数的单调性。
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