《数学课程标准》中指出:“让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释的同时,在思维能力、情感态度与价值观等方面得到进步和发展。”为落实这一理念,近年来数学中考加强了对应用意识及解决实际问题能力的考查,其份量有越来越重的趋势。应用问题有多种类型,下面着重展示如下六种应用性试题,并对其解题思路加以分析。
一、方程(组)应用题
这类问题是研究现实世界数量关系的最基本的问题,它可以帮助人们从数量关系的角度更准确、更清晰地认识、描述和把握现实世界。诸如行程、增长率、储蓄、利息、税率、工程施工及劳力分配等问题,都可以通过列方程(组)来解决。
例1. 某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅,经过测试:同时开放1个大餐厅、2个小餐厅,可供1680名学生就餐:同时开放2个大餐厅、1个小餐厅,可供2280名学生就餐。
(1)求1个大餐厅、1个小餐厅分别可供多少名学生就餐;
(2)若7个餐厅同时开放,能否供全校的5300名学生就餐?请说明理由。
解:(1)设1个大餐厅可供x名学生就餐,1个小餐厅可供y名学生就餐,根据题意
得
解这个方程组,得
所以1个大餐厅可供960名学生就餐,1个小餐厅可供360名学生就餐。
(2)因为,所以如果同时开放7个餐厅,能够供全校的5300名学生就餐。
二、不等式(组)应用题
生活中的不等关系是普遍存在的,许多现实问题很难确定具体的数值,但可以求出或确定某个量的变化范围,从而对所研究的问题有一个比较清楚的认识。市场营销、生产决策和社会生活中有关统筹安排、最佳决策、最优化等问题常用不等式(组)应用题来解决。
例2. 市“康智”牛奶乳业有限公司经过市场调研,决定从明年起对甲、乙两种产品实行“限量生产”,要求这两种产品全年共新增产量20件,这20件的总产值p(万元)满足;110。已知有关数据如下表所示,那么该公司明年应怎样安排新增产品的产量?
解:设该公司安排生产新增甲产品x件,那么生产新增乙产品件,由题意,得。
解这个不等式组,得
依题意,得
当时,
当时,
当时,
所以该公司明年可安排生产新增甲产品11件,乙产品9件;或生产新增甲产品12件,乙产品8件;或生产新增甲产品13件,乙产品7件。
三、函数应用题
函数反映了事物间的广泛联系,提示了现实世界众多的数量关系及变化规律,日常生活中的许多问题,诸如造价成本最低、生产利润最大、风险决策、股市期货、开源节流、扭亏增盈、方案最优化等问题的研究,都可以通过建立函数关系来解决。
例3. 甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠,所挖河渠的长度y(m)与挖掘时间x(h)之间的关系如图所示,请根据图像所提供的信息解答下列问题:
(1)乙队开挖到30m时,用了____________________________h。开挖6h时甲队比乙队多挖了____________________________m;
(2)请你求出:
①甲队在的时段内,y与x之间的函数关系式;
②乙队在的时段内,y与x之间的函数关系式;
(3)当x为何值时,甲、乙两队在施工过程中所挖河渠的长度相等?
解:(1)2,10;
(2)设甲队在的时段内,y与x之间的函数关系式
由图可知,函数图像过点(6,60)
解得
设乙队在的时段内y与x之间的函数关系式为
由图可知,函数图像过点(2,30)、(6,50)
解得
(3)由题意,得
解得x=4(h)
∴当x为4h时,甲、乙两队所挖的河渠长度相等。
四、几何应用题
几何应用题图文并茂,贴近人类生活经验和实验需要,如零件加工、残轮修复、工程选点定位、裁剪方案、美化设计、道路拱桥计算等实际问题中都涉及一定的图形知识,在解决这些问题时,我们通常要抓住图形的几何性质,将实际问题转化为几何问题来进行解决。
例4. 本市新建的滴水湖是圆形人工湖。为测量该湖的半径,小杰和小丽沿湖边选取A、B、C三根木柱,使得A、B之间的距离与A、C之间的距离相等,并测得BC长为240米,A到BC的距离为5米,如图所示。请你帮他们求出滴水湖的半径。
解:设圆心为点O,连结OB、OA,OA交线段BC于点D
因为AB=AC
所以OA⊥BC
且
由题意,DA=5
利用勾股定理易求出OB=1442.5
所以滴水湖的半径为1442.5
五、统计应用题
统计的内容具有非常丰富的实际背景,在现实生活中有着广泛的应用,要求学生学会如何收集数据和分析数据,深刻理解用样本估计整体的基本统计思想,掌握描述数据集中趋势和离散程度的两类基本统计量,并能够灵活计算。
例5. 为了迎接全市中考,某中学对全校初三男生进行了立定跳远项目测试,并从参加测试的500名男生中随机抽取了部分男生的测试成绩(单位:米,精确到0.01米)作为样本进行分析,绘制了如图所示的频率分布直方图(每组含最低值,不含最高值),已知图中从左到右每个小长方形的高的比依次为2:4:6:5:3,其中1.80~2.00这一小组的频数为8,请根据有关信息解答下列问题:
(1)填空:这次调查的样本容量为______________________,2.40~2.60这一小组的频率为_____________________。
(2)请指出样本成绩的中位数落在哪一小组内,并说明理由。
(3)样本中男生立定跳远的人均成绩不低于多少米?
(4)请估计该校初三男生立定跳远成绩在2.00米以上(包括2.00米)的约有多少人?
解:(1)40,0.15
(2)∵各小组的频数分别为:
,,,,
而中位数是40个成绩从小到大排列后第20个数据和第21个数据的平均数。
∴中位数落在2.00~2.20这一小组内
(3)设样本人均成绩最低值为x,则
∴样本中男生立定跳远的人均成绩不低于2.03米。
(4)(人)
所以该校初三男生立定跳远成绩在2.00米以上的约有350人。
六、三角形应用题
解直角三角形应用问题,题目新颖灵活,有利于培养学生采取多种方法求解的能力,解题的关键是抓住锐角三角函数以及直角三角形边与角之间关系。
例6. 如图所示,某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°,沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为45°,已知OA=100米,山坡坡度i=1:2且O,A,B在同一条直线上,求电视塔OC的高度以及此人所在位置点P的铅直高度。(测倾器高度忽略不计,结果保留根号形式)
解:作PE⊥OB于点E
PF⊥CO于点F,在Rt△AOC中,AO=100,∠CAO=60°
(米)
设PE=x米
解得(米)
所以电视塔OC高为米,人所在位置点P的铅直高度为(米)。
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