一、概率的基本知识点
1、基本内容:了解等可能性事件的概率的意义,会用排列组合公式计算一些等可能性事件的概率。了解互斥事件的意义,会用互斥事件的概率加法公式计算一些事件的概率。了解相互独立事件的意义,会用相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率,会计算事件在 次独立重复试验中恰好发生 次的概率。掌握数学期望的概念、求值及应用。
2、基本公式:
(1)等可能性事件的概率公式: ;
(2)互斥事件的概率公式: ,
①推广: ,
②对立事件的概率公式: ;
(3)独立事件的概率公式: ,
①推广: ,
②独立重复试验的概率公式: 。
二、考纲要求
1、考试大纲、考试说明、实际考题主要围绕下面两点展开对概率知识的考查:
(1)4个“了解”,即了解随机事件的概率;等可能事件的概率;互斥事件;相互独立事件;
(2)4个“会”,即会用排列组合基本公式计算等可能事件的概率;会用互斥事件的概率加法公式计算事件的概率;会用独立事件的概率乘法公式计算事件的概率;会计算事件在n次独立重复试验中恰发生k次的概率;
2、近几年来新课程卷高考试卷概率知识主要考查的基本知识和方法:随机事件、等可能事件、互斥事件、相互独立事件、独立重复实验等概念及相应的计算等。
三、典型例题分析
(1)古典概率的考查
主要围绕等可能性事件的概率公式加以考查,解答时一定要注意结合排列、组合和两个基本计数原理来明确分清基本事件数 及其总数 。
例1、(2014年高考重庆卷)某轻轨列车有4节车厢,现有6位乘客准备乘坐,设每一位乘客进入每节车厢是等可能的,则这6位乘客进入各节车厢的人数恰好为0,1,2,3的概率为________。
分析:6位乘客等可能进入4节轨列车厢,有46种方法。
4节车厢选一节不进入,有 种选法;6人中分3组,各组分别为3人、2人、1人的分法有 种分法;而3组进入3节车厢有 种方法;
按乘法原理,共有 种方法,
所以得求的概率为 ,即填 。
(2)复杂事件的概率问题的考查
复杂事件的概率问题的解答要充分利用事件的内在联系,将之转化为可以利用互斥事件或相互独立事件的概率的计算,再结合概率知识来解决实际问题。
例2、(2014年高考江苏卷)甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率分别是 和 。假设两人射击是否击中目标,相互之间没有影响;每次射击是否击中目标,相互之间没有影响。
(1)求甲射击4次,至少1次未击中目标的概率;
(2)求两人各射击4次,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率;
(3)假设某人连续2次未击中目标,则停止射击。问:乙恰好射击5次后,被中止射击的概率是多少?
解:(1)设“甲射击4次,至少1次未击中目标”为事件A,则其对立事件 为“4次均击中目标”,则 ;
(2)设“甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次”为事件B,则
;
(3)设“乙恰好射击5次后,被中止射击”为事件C,由于乙恰好射击5次后被中止射击,故必然是最后两次未击中目标,第三次击中目标,第一次及第二次至多有一次未击中目标,
所以 。
四、应试策略与命题预测
1、概率是高中数学的重要内容之一,这部分内容是进一步学习高等数学的基础知识之一,是高考数学命题的重要内容。从近几年全国高考数学(新材)试题来看,主要是考查概率的基本概念、公式及基本技能、方法,以及分析问题和解决问题的能力。试题特点是基础和全面。题目类型有选择题、填空题、解答题,一般是一小题(选择题、填空题)和一大题(解答题),分值大约在10~15分左右。试题难度多为低中档。从高中数学课程的改革观念看,高考数学命题对这部分将进一步重视,但题目数量、难度、题型将会保持稳定。
2、处理概率问题过程中的基本思想是:先分清事件的构成及概率的转化,并注意运用集合的观点,利用事件的内在联系,促成复杂事件的概率问题向简单事件的概率问题转化。处理过程中往往要用到分类讨论、数形结合、化归转化等数学思想与方法。
五、创新演练
例1、托举神舟六号飞船进入太空的,是中国人自己研制的长征二号F型火箭。运载火箭的可靠性和安全性分别达到97%和99.7%。在长征二号F型火箭中某个系统由6个相同的元件组成,各元件能否正常工作是相互独立的,各元件正常工作的概率为p=0.95,那么下面两组系统中,哪一组系统的可靠性更大?
解:设C={系统故障},在图(1)所示情况,当 与 同时故障时系统故障,
记 , ,则 独立,
则 , ,
由于串接在 上的三个元件中任何一个故障,都将导致 故障,
所以 ,
因为三个元件中只要有一个故障, 即发生故障,因此可以认为等式右边的三个随机事件互斥,所以 ,
而各元件正常工作的概率为p=0.95,则发生故障的概率为0.2014,
所以 ,同理, ,
所以 ,即图(1)所示情况的系统的可靠性为97.75%;
在图(2)所示情况,当 , , 之一故障时系统故障,
记 , , ,则 ,
因为 , , 只要有一个故障,系统即发生故障,因此可以认为 互斥,所以 ,
在 中两个元件是并联的,所以 ,
所以 ,
同理, ,
所以 ,即图(2)所示情况的系统的可靠性为99,学习规律.25%;
比较两个结果,两者的可靠性均超过97%,但图(2)所示情况的系统的可靠性更大。
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