1．按公因式分解
例1 分解因式7x2-3y+xy+21x．
分析：第1、4项含公因式7x，第2、3项含公因式y，分组后又有公因式(x-3)，
解：原式=(7x2-21x)+(xy-3y)=7x(x-3)+y(x-3)=(x-3)(7x+y)．

2．按系数分解
例2 分解因式x3+3x2+3x+9．
分析：第1、2项和3、4项的系数之比1：3，把它们按系数分组．
解；原式=(x3+3x2)+(3x+9)=x2(x+3)+3(x+3)=(x+3)(x2+3)．

3．按次数分组
例3 分解因式 m2+2m•n-3m-3n+n2．
分析：第1、2、5项是二次项，第3、4项是一次项，按次数分组后能用公式和提取公因式．
解：原式=(m2+2m•n+n2)+(-3m-3n)=(m+n)2-3(m+n)＝(m+n)(m+n-3)．

4．按乘法公式分组
分析：第1、3、4项结合正好是完全平方公式，分组后又与第二项用平方差公式．

5．展开后再分组
例5 分解因式ab(c2+d2)+cd(a2+b2)．
分析：将括号展开后再重新分组．
解：原式=abc2+abd2+cda2十cdb2＝(abc2+cda2)+(cdb2+abd2)＝ac(bc+ad)+bd(bc+ad)＝(bc+ad)(ac+bd)．

6．拆项后再分组
例6 分解因式x2-y2+4x+2y+3．
分析：把常数拆开后再分组用乘法公式．
解：原式=x2-y2+4x+2y+4-1=(x2+4x+4)+(-y2+2y-1)=(x+2)2-(y-1)2=(x+y+1)(x-y+3)．

7．添项后再分组
例7 分解因式x4+4．
分析：上式项数较少，较难分解，可添项后再分组．
解：原式=x4+4x2-4x2+4=(x2+2)2-(2x)2=(x2+2x+2)(x2-2x+2)

二、用换元法进行因式分解
用添加辅助元素的换元思想进行因式分解就是原式繁杂直接分解有困难，通过换元化为简单，从而分步完成．
例8 分解因式(x2+3x-2)(x2+3x+4)-16．
分析：将令y=x2+3x，则原式转化为(y-2)(y+4)-16再分解就简单了．
解：令y=x2+3x，则
原式=(y-2)(y+4)-16=y2+2y-24=(y+6)(y-4)．
因此，原式=(x2+3x+6)(x2+3x-4)=(x-1)(x+4)(x2+3x+6)．

三、用求根法进行因式分解
例9 分解因式x2+7x+2．
分析：x2+7x+2利用上述各方法皆不好完成，但仍可以分解，可用先求该多项式对应方程的根再分解．

四、用待定系数法分解因式．
例10 分解因式x2+6x-16．
分析：假设能分解，则应分解为两个一次项式的积形式，即(x+b1)(x+b2)，将其展开得
x2+(b1+b2)x十b1•b2与x2+6x-16相比较得
b1+b2=6，b1•b2=-16，可得b1，b2即可分解．
解：设x2+6x-16=(x+b1)(x+b2)
则x2+6x-16=x2+(b1+b2)x+b1•b2
∴x2+6x-16=(x-2)(x+8)．

 

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